Математическая модель метода

ЗАДАЧА.

Решить приближенно дифференциальное уравнение вида

где

Получить график решения дифференциального уравнения.

Математическая модель метода

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Математическая модель – система уравнений алгебраических и/или дифференциальных, основанных на законах сохранения с соответствующим начальным и ограниченным условием.

(1)

(2)

Наиболее универсальными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений являются численные методы. Среди численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений одним из важнейших является метод конечных разностей.

Метод конечных разностей основывается:

· на замене непрерывной области определения решения D дискретным множеством точек, называемым сеткой ω_h;

· на замене непрерывных функций дискретными (сеточными), определенными на введенной сетке изменения аргумента;

· на замене производных, входящих в уравнение, конечными разностями. В результате вместо дифференциального уравнения получается конечно-разностное уравнение, определенное в узлах разностной сетки. Решение его сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки.

Вводится разностная сетка по аргументу t. Ось делим на дискретные значения. Функция, определяемая в узлах разностной сетки, называется сеточной функцией.

(3)

(конечная разность методов)

(4)*

*разностная схема Эйлера

, , ,

(4) дискретный аналог исходного дифференциального уравнения (1).

Схема Эйлера имеет первый порядок точности, что требует мелких шагов для точности решения задач (1). Более высокой точности можно достигнуть с применением многошаговых или многоэтапных методов.