Итерационный метод Зейделя

Метод Зейделя является модификацией метода Якоби решения систем линейных уравнений (7.2). Она отличается тем, что при определении значения переменной х_i ^{( k +1)} на (k +1)-й итерации используются уже вычисленные (k +1)-е приближения неизвестных c предыдущими номерами х ₁^{( k +1)}, х ₂^{( k +1)},..., х_{i -1} ^{( k +1)}, а также значения последующих неизвестных х_{i +1}^{( k )}, х_{i +2}^{( k )},..., х_n ^{( k )}, полученные на предыдущей k -й итерации.

При этом соотношения (7.4), полученные из (7.3), принимают несколько другой вид:

(7.6)

Соотношения (7.6) задают расчетную схему итерационного метода Зейделя.

Выбор начального приближения, расчеты текущих приближенных решений и условие завершения итерационного процесса по методу Зейделя такие же, как и в методе простой итерации.

Как и для метода простой итерации, для метода Зейделя справедлив достаточный признак сходимости при наличии диагонального преобладания у матрицы системы.

Расчетная схема метода Зейделя ненамного сложнее, чем у метода Якоби. Однако, как правило, у метода Зейделя итерационный процесс сходится к искомому решению системы быстрее, чем при использовании метода последовательных приближений Якоби, либо - при одинаковом числе итераций получаются меньшие погрешности.

Пример 1. Решить, аналогично систему линейных уравнений из примера 1 п. 7.2 методом Зейделя с точностью e=0,1:

Решение. Раcчетная схема задачи:

Начальное приближение `х <sup>(0)</sup>: `х ₁⁽⁰⁾=(-3)/(-4)=3/4; `х <sub>2</sub><sup>(0)</sup> =(-14)/4=-7/2; `х ₃⁽⁰⁾ =9/2. Итерации выполняем аналогично методу простой итерации.

Итерация 1:

.

Так как норма приращения вектора решения больше e, итерации необходимо продолжить.

Итерация 2:

.

Норма приращения вектора решения больше e, итерации необходимо продолжить.

Итерация 3:

.

С учетом точного решения системы (х ₁ = 1; х ₂ = -3; х ₃ = 4) находим абсолютные погрешности D х_i = ï х_i ^(и) - х_i ï:

D х ₁ =1/128» 0,0078;D х ₂» 0; D х ₃ =1/256» 0,0039.

Относительные погрешности d х_i = D х_i /ï х_i ï:

d х ₁ » 0,0078/1=0,0078;d х ₂» 0/3» 0; d х ₃ » 0,0039/4»0,0010.

В итоге при одинаковом числе итераций (3) в методе Зейделя погрешность первой компоненты равна такой же погрешности в методе Якоби, а погрешности второй и третьей компонент - меньше аналогичных в методе Якоби.

Вопросы для проверки знаний.

1. В чем отличие расчетной схемы итерационного процесса метода Зейделя от схемы метода Якоби?

2. В чем заключаются недостатки и преимущества метода Зейделя по сравнению с методом Якоби?