Арифметические действия со сходящимися последовательностями

Теорема 1. (О б арифметических действиях со сходящимися последовательно- стями) Пусть , . Тогда:

а) последовательность сходится, а ее предел равен a + b;

б) последовательность сходится, а ее предел равен ab;

в) если при всех и, кроме того, , то последовательность

сходится, а ее предел равен .

Так как и , то(п. 3.4.,замечание 2,) и , где и .

а) , где . Так как и , то и . Таким образом, , где , поэтому (п. 3.4.,замечание 2) .

б) , где . Так как и , то , (п.3.4., следствие теоремы 2) и ; поэтому . Таким образом, , где ; значит, .

в) .

Обозначим: , , Последовательность ограничена. Действительно, так как , то либо , либо . Пусть (случай рассматривается аналогично). Выберем некоторое p, . По теореме о стабилизации знака неравенства (п. 3.3., теорема 3) найдется натураль- ное такое, что при всех . Отсюда: 0 при , т.е., при всех . Обозначим через и соответственно наименьшее и наибольшее из чисел , , ¼, и пусть , . Очевидно, все члены последовательности лежат на сегменте , т.е. эта последовательность ограничена. Последовательность есть б.м. последователь- ность, так как и . Значит, является произведением ограничен- ной последовательности и б.м. последовательности , поэтому (п. 3.4., теорема 2) .

Итак, , где . Значит, (п 3.4., теорема 3), .

3.6. Теоремы о монотонных последовательностях

Теорема 1. (Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последова-

тельности)

1) Если неубывающая последовательность ограничена сверху, то она сходится, а ее предел равен

2) Если невозрастающая последовательность { x _k} ограничена снизу, то она сходится, а ее предел равен inf { x _k}

1) Обозначим: . Покажем, что последовательность и число a удовлетворяют определению 1, п.3.2., а именно, что

.

Пусть задано некоторое . Так как a – точная верхняя грань для , то при всех , а число не является верхней гранью для . Зна- чит, найдется член последовательности – обозначим его через (здесь – номер этого члена последовательности) – такой, что . Рассматриваемая после- довательность - неубывающая, значит, при всех и потому при всех выполняется . Но если , то, очевидно, ; следовательно, мы установили, что Þ . Число e здесь – произвольное положительное число, так что

;

значит,

2) Доказательство этого утверждения проводится аналогично.

Упражнение. Провести доказательство утверждения 2).

Теорема 2. (О вложенных сегментах) Пусть задана бесконечная последо- вательность сегментов , , ¼, , ¼, где при всех , и пусть . Если 1) при всяком сегмент содержит после- дующий сегмент и 2) , то существует единственное число x, принадлежащее всем сегментам этой последовательности:..

Из условия 1) следует, что последовательность левых концов сег -ментов является неубывающей, а последовательность правых концов – невоз- растающей. Последовательность ограничена сверху (например, числом ), зна- чит, она сходится: обозначим ее предел через . Последовательность ограни- чена снизу (например, числом ), значит, она сходится; обозначим ее предел через . Из утверждений 1) и 2) теоремы 1 имеем: , ; поэтому при всех и . Кроме того, в силу теоремы о предельном перехо- де в неравенстве (п.3.3.) из следует . Следовательно, при всех . Покажем, что .

Допустим противное: . Обозначим: . Тогда из следует: при всех , что противоречит условию теоремы. Значит, .

Итак, мы доказали, что последовательности и имеют один и тот же предел , который, очевидно, принадлежит каждому из сегментов , . Докажем теперь, что x – единственная точка, принадлежащая всем сегментам , .

Предположим противное: пусть существует вещественное число h, отличное от x и принадлежащее каждому сегменту : . Обозначим: . Так как x и h принадлежат сегменту , то = . Значит, при всех , а это противоречит тому, что . Следовательно, x – единственная точка, общая всем сегментам , .

Теорема 3. Последовательность сходятся.

Рассмотрим последовательность , где x _k = Докажем, что это убывающая последовательность; для этого, очевидно, достаточно установить, что при всех отношение меньше единицы. Имеем:

.

Воспользовавшись неравенством Бернулли (п. 2.5.) получим:

;

отсюда:

.

Заметим:

.

. Отсюда: при всех . Итак, последовательность является убывающей последовательностью. Так как , то и при всех , т.е. ограничена снизу числом 1. По теореме 1 она сходится. ◄

Предел последовательности обозначим через е: .

Следствие. .

► Для последовательности , где можем записать: . Предел знаменателя этой дроби равен 1, предел ее числителя равен e; по теореме 1,п.3.5., получим: . ◄

Замечание. Было установлено (см. доказательство теоремы), что последова- тельность убывает, значит, . Mожно показать, что последовательность возрастает; отсюда: , Таким образом, N , причем . Это дает возможность вычислять любое количество первых десятичных знаков числа e:

e =2,718281828459045 ¼.

Константа e – одна из важнейших в математике. В частности, она является основанием наиболее употребительной системы логарифмов. Логарифм числа x, x > 0, по основанию e называют натуральным логарифмом числа x и обозначают через ln x. Отметим связь между десятичным и натуральным логарифмами числа x:

, где M = lge = = 0,434294….

3.7. Бесконечно большие последовательности

Среди расходящихся последовательностей наибольший интерес представляют бесконечно большие последовательности. В определенном смысле это понятие проти- воположно понятию бесконечно малой последовательности.

Определение 1. Будем говорить, что последовательность стремится к +¥, если для всякого положительного числа E существует натуральное такое, что для всех ее членов х , номер k которых превышает , справедливо неравенство , т.е. если

.

Геометрически требования этого определения означают, что все члены остатка лежат на числовой оси правее точки E. Таким образом, правее точки E ле- жит бесконечное множество членов последовательности , в то время, как левее этой точки может находиться разве лишь конечное их количество. Существенно, что сказанное остается справедливым при любом E > 0, которое может быть взято как угодно большим. Если условия этого определения выполнены, будем записывать:

или . Очевидно, такая последовательность не ограничена сверху.

Определение 2. Будем говорить, что последовательность стремит- ся к –¥, если для всякого положительного числа E существует натуральное та- кое, что для всех тех ее членов х , номер k которых превышает , справедливо неравенство , т.е., если

.

Если условия этого определения выполнены, будем записывать: или . Очевидно, такая последовательность не ограничена снизу.

Упражнение. 1) Доказать, что если неубывающая последовательность не ограничена сверху, то . 2) Доказать, что если невозрастающая последова- тельность не ограничена снизу, то .

Определение 3. Будем говорить, что последовательность стремится к ¥, если для всякого положительного числа E существует натуральное такое, что для всех ее членов х , номер k которых превышает , справедливо неравенство , т.е., если

.

Если условия этого определения выполнены, будем записывать или .

Последовательности, стремящиеся к +¥, к –¥ или к ¥, называют бесконечно большими последовательностями (б.б. последовательностями). Б.б. последователь- ность является расходящейся последовательностью. В самом деле, пусть – б.б. последовательность, и пусть a – некоторое вещественное число, а e – некоторое положительное число. Из определений 1, 2 и 3 вытекает, что на ограниченном интервале может находиться разве лишь конечное множество членов последовательности , поэтому a не является ее пределом. Но a – произвольное вещественное число. Значит, ни одно вещественное число не может быть пределом б.б. последовательности , т.е. она расходится.

Отметим еще, что если последовательность удовлетворяет определению 1 или определению 2, то она удовлетворяет и определению 3. Если же , то это не означает, что обязательно стремится либо к +¥, либо к –¥.

Пример 1. Пусть , где . Если q > 1, то ,очевидно, воз- растает и не ограничена сверху; поэтому (см. выше, Упражнение) , можно также написать . Если же q < –1, то , причем не стремится ни к +¥, ни к –¥.

Теорема 1. (О связи между б.б. и б.м. последовательностями).

Пусть задана последовательность , причем при всех . Обозначим Тогда 1) если , то ; 2) если , то .

Докажем утверждение 1). Пусть E > 0 – некоторое число; обозначим: . Так как , существует такое, что

; отсюда: .

Таким образом, если положить , то имеем Þ . Так как здесь E > 0 – произвольное положительное число, то условия определения 3 выполня -ются для последовательности ; значит, .

Докажем утверждение 2). Пусть e > 0 – некоторое положительное число; обозначим: . Так как , то существует такое, что

; отсюда: . Значит, если положить , будем иметь . Так как здесь ε - произвольное положительное число, то последовательность удовлет- воряет определению 1,п. 3.4., т.е. .

Приведенные ниже утверждения касаются арифметических действий с б.б. последовательностями.

а) Если и , то и (здесь следует выби- рать либо везде знак “+“, либо везде знак “–”).

б) Если , –¥ или ¥, а последовательность ограничена, то стремится к +¥, –¥ или ¥ соответственно.

в) Если , , то и .

г) Если , а , a ¹ 0, то .

Упражнение. Доказать утверждения а) – г).

3.8. Фундаментальные последовательности

Определение 1. Последовательность назовем фундаментальной пос- ледовательностью, если для любого e > 0 существует натуральное такое, что нера- венство справедливо при любых натуральных n и m, больших, чем , т.е. если

N: N N ( )

Геометрически сформулированные выше условия означают, что все члены ос-татка последовательности лежат на интервале длины 2e, в каче- стве которого можно взять e-окрестность любой точки , где . Такой интервал длины 2e содержит бесконечное множество членов последовательности , в то время как вне этого интервала может находиться разве лишь конечное их количество. Существенно, что сказанное остается справедливым при любом e > 0, которое может быть взято как угодно малым. В п. 3.2. были отмечены аналогичные черты в поведе- нии сходящейся последовательности. Наличие этой аналогии обьясняет следующая теорема.

Теорема 1. ( Критерий Kоши). Для того, чтобы последовательность была схо- дящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство этой теоремы мы здесь приводить не будем. Его можно найти в учебниках математического анализа [1] и [2].

Приведем пример применения критерия Коши.

Пример 1. Пусть – заданное число, , . Рассмотрим последовательность . Выше (п. 3.2., пример 1) было показано, что при . При все члены этой последовательности равны единице; поэтому . При эта последовательность расходится (п. 3.2., пример 3). Таким образом, поведение известно при всяком q, | q | £ 1.

Пусть теперь . Покажем, что в этом случае последовательность , расходится. В силу критерия Коши достаточно показать, что она не является. фундаментальной. При произвольных натуральных n и m, удовлетворяющих нера- венству n < m, имеем:

.

Выберем e достаточно малым: . Тогда из полученных выше не- равенств при любых натуральных n и m будем иметь: . Следовательно, для такого не существует натуральное k _ε, о котором идет речь в определении 1; по- этому последовательность , , не является фундаментальной (см. также п. 3.7.,пример 1). В силу критерия Коши она расходится.