Предел функции

4.1. Функции одной переменной

Определение 1. Пусть X Ì R – некоторое множество, и пусть сформулировано правило f, в силу которого каждому числу сопоставлено некоторое число y. Тогда будем говорить, что на множестве X определена функция f, или функция f (x), или функция y = f (x) (рис.4).

Рис. 4.

Понятие, описанное определением 1, представляет собой отображение множе- ства Х в множество R (п.1.2.). Множество X называют областью определения функ- ции f и обозначают через D (f). Число y в определении 1 называют значением функции f в точке x и обозначают через f (x). Совокупность всех значений, принимаемых функцией f в точках множества X, называют множеством значений функции f и обозначают через E (f). В записи y = f (x) букву x называют аргументом или незави- симой переменной, а y – функцией или зависимой переменной.

4.2. Предел функции при x, стремящемся к a, a Î R

Ниже мы рассматриваем функции, областями определения которых являются промежутки или объединения нескольких промежутков. Наиболее часто в качестве об- ласти определения функции выступает окрестность или проколотая окрестность неко- торой точки.

В п. 3.2. окрестностью точки a, a Î R мы назвали всякий интервал, содер- жащий эту точку. Проколотой окрестностью точки a, a Î R назовем множество, ко- торое получается в результате удаления из окрестности самой точки a. Таким об- разом, если интервал (a; b) является окрестностью точки a (т.е., если a < a < b), то проколотая окрестность этой точки представляет собой объединение интервалов (a; a) и (a; b); обозначать это множество будем символом . Проколотой e-окрестно- стью точки a (a Î R, e > 0) назовем объединение интервалов и ; обозначать это множество будем символом :

.

Предел функции принадлежит к начальным понятиям математического анализа. Его определение опирается на понятие сходящейся последовательности. Заметим, что если аргумент x функции f пробегает некоторую числовую последовательность , то значения функции в точках образуют числовую последовательность , где

Пусть функция f определена в проколотой окрестности , a Î R, и пусть A – некоторое число. Заметим: в точке а функция может быть определена, а может быть и нет.

Определение 1. Число A назовем пределом функции f при x, стремящемся к a, если для всякой последовательности , удовлетворяющей условиям

1) все члены последовательности содержатся в и

2) последовательность сходится к а,

соотвеетствующая последовательность значений функции сходится к A.

Будем пользоваться компактной записью условий определения 1:

N

Прочесть эту строчку можно так: для всякой последовательности { x _k }, лежа- щей в проколотой окрестности точки а и сходящейся к а, соответствующая последо- вательность { f (x _k } значений функции сходится к А.

Геометрический смысл определения 1 очевиден: какова бы ни была последова- тельность значений аргумента , сходящаяся к a (она изображается последова- тельностью точек на числовой оси, сгущающейся вокруг точки a), соответствующая последовательность значений функции изображается последовательностью точек, сгущающейся вокруг точки А.

Если число A удовлетворяет условиям определения 1, будем записывать:

или .

Пример 1. Покажем, что .

Начнем с доказательства неравенств, к которым часто будем обращаться в дальнейшем.

Лемма. При всех х справедливы неравенства

(1)

► Пусть сначала . Рассмотрим круг некоторого радиуса r, и пусть OA и OB – два радиуса этого круга, ограничивающие сектор S с центральным углом x (рис.5.). Треугольник AOB содержится в секторе S, который, в свою очередь, содержится в прямоугольном треугольнике AOC; поэтому площадь D AOB не превышает площади S,

Рис. 5.

которая не превосходит площади D AOC, т.е.

,

где . Отсюда: ; а так как все части этиx неравенств неотри- цательны, то можно записать .

Пусть теперь х ; тогда t = - x лежит в , и по доказанному выше |sin t | ≤ | t |≤ | tg t |. Отсюда, так как sin(- x) = - sin x и tg(- x) = -tgx, получаем для х, при- надлежащих : , и утверждения леммы доказаны.◄

Перейдем к доказательству равенства .

► Выберем какую-нибудь проколотую окрестность точки 0; например, пусть это будет интервал (–1; 1), из которого удалена точка 0: . Пусть - последовательность такая, что 1) все ее члены содержатся в и 2) . Таких последовательностей существует бесконечно много, например, , и т.п.; – одна из подобных последовательностей, любая из них. В силу неравенств (1) при всех натуральных k имеем: 0 . Отсюда и из теоремы о “сжатой “ последовательности (теорема 5, п. 3.3.) следует: , а тогда и . Таким образом, какова бы ни была последовательность , удовлетворяющая сформулированным выше условиям 1) и 2), соответствующая последовательность сходится к A = 0; следовательно, в силу определения 1 ◄

Пример 2. Пусть f (x) = [ x ], где [ x ] есть целая часть числа х, т.е. наиболь- шее из целых чисел, не превосходящих х (если n x < n+1, где n Z, то [ x ]= n). На рис.6. изображен график этой функции. Покажем, что она не имеет предела при х, стремящемся к нулю.

Рассмотрим какую-нибудь проколотую окрестность точки 0, например, интервал (–1; 1), из которого удалена точка 0. Обозначим и и рассмотрим б.м. последовательности и . Каждая из них удовлетво- ряет требованиям 1) и 2) определения 1. Очевидно, при всех натуральных k и .; поэтому и . Таким образом, для указан-ных последовательностей и соответствующие им последовательности и значений функции имеют различные пределы.

Рис. 6.

Следовательно, не существует числа A, удовлетворяющего определению 1.

Приведём еще одно определение предела функции, эквивалентное опреде- лению 1, но сформулированное в других терминах.

Пусть функция f определена в , a Î R, и пусть A – некоторое число.

Определение 2. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к a, если для любого e > 0 существует d > 0 такое, что при всех x, удовлетворяющих неравенствам 0 < , справедливо

неравенство .

Запишем условия этого определения, используя логические знаки:

"e > 0 $d > 0: " x Î R .

Прочитать эту строчку можно так: для любого положительного ε существует положительное δ такое, что для всякого вещественного х, удовлетворяющего нера- венствам 0 < | x – a | < δ, соответствующее значение функции f (x) удовлетворяет неравенству | f (x) - A | < ε.

Условия определения 2 можно записать еще и так:

"e > 0 $d > 0 " x Î R .

Геометрический смысл записи представлен на рис.7:

Рис. 7.

как только расстояние от х до точки а становится меньше δ, так сразу расстояние между точкой f (x) и точкой A становится меньше e. Существенно, что d, облада- ющее указанным свойствам, существует для любого e, как бы мало оно ни было.

Как уже было сказано выше, определения 1 и 2 эквивалентны, т.е. они описыва- ют одно и то же математическое понятие – предел функции f при x, стремящимся к a. Конечно, их эквивалентность подлежит доказательству; это доказательство можно найти в учебниках [1] и [2].

В дальнейшем определение 1 будем называть определением предела функции на языке последовательностей, а определение 2 – определением предела функции на языке “ e – d”.

Пример 3. На языке ‘ ε- δ’ доказать, что .

Неравенство в нашем примере выглядит так: . Таким образом, нужно показать, что для любого e > 0 можно подобрать d > 0 такое, что если , то . Согласно неравенствам (1) , поэтому если , то . Следовательно, для всякого e > 0 можно указать d > 0 (например, d = e) такое, что Þ ; поэтому .

4.3. Односторонние пределы

Пусть функция f определена на некотором интервале (a; b) и пусть A – некоторое число.

Определение 1. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к a справа, если для всякой последовательности такой, что

1) все ее члены лежат на (а; b) и

2) она сходится к а, соответствующая последовательность значений функции сходится к А, т.е.

.

Это определение сформулировано на языке последовательностей. Сформулируем эквивалентное определение на языке “ ε- δ”

Пусть функция f определена на некотором интервале (a;b) и пусть А – некоторое число..

Определение 1΄. Число А называют пределом функции f при х, стремящемся к а справа, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всякого х, удов- летворяющего неравенствам а < x < x+δ, соответствующее значение функции f (x) удовлетворяет неравенству | f (x) – A | < ε,т.е.

"e > 0 $d > 0: " x Î R .

. Если A есть предел функции f при x, стремящемся к a справа, будем записывать: или или A = f (a + 0).

Определение 2. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к b слева, если (на языке последовательностей)

,

или если (на языке “ ε- δ”)

"e > 0 $d > 0: " x Î R .

Если A является пределом функции f при x, стремящимся к b слева, будем применять обозначения: или или A = f (b – 0).

Теорема 1. (О связи предела функции с ее односторонними пределами)

Пусть функция f определена в , , и пусть A – некоторое число. Для того чтобы A было пределом функции f при , необходимо и достаточно, чтобы A было односторонним пределом функции f как при х, стремящемся к а справа, так и при х, стремящемся к а слева..

Необходимость. Пусть . Зададим ; найдется такое, что Þ , а это означает, что справедливы два утверждения:

Þ ; (2)

Þ . (3)

Так как было задано произвольно, то из (2) следует:

: ,

т.е. . Из (3) аналогично следует: .

Достаточность. Пусть . Зададим . Так как , найдется такое, что Þ . Так как , найдется такое, что Þ . Обозначим: . Заметим: если х удовлетворяет неравенствам 0 < | x - a | < δ, то для него справедливо либо < < а, либо . И в том, и в другом случае выполняется . Таким образом, 0 < | x - a | < δ Þ . Но было задано произвольно. Значит,

: ,

поэтому .

Упражнение. Для функции f примера 2, п. 4.2, показать, что ; ( пишут вместо x → 0 - 0; х → +0 пишут вместо ).

4.4. Предел функции на бесконечности

Пусть функция f определена на интервале , где , и пусть A – некоторое число.

Определение 1. Число A называют пределом функции f при x, стремящем- ся к +¥, если для всякой последовательности , удовлетворяющей условиям

1) все члены последовательности содержатся в интервале (а;+∞) и

2) х , соответствующая ей последовательность значений функции сходится к A, т.е. если΄

.

Это определение сформулировано на языке последовательностей. Приведем формулировку эквивалентного определения на языке “ ε – δ”

Пусть функция f определена на интервале (а;+∞),где а R, и пусть А - некоторое число.

Определение 1′. Число А называют пределом функции f при х, стремящемся к +∞, если для любого ε > 0 существует Δ > 0 такое, что для всякого х, удовлетво- ряющего неравенству x > Δ, соответствующее значение функции f (x) удовлетворяет неравенству , т.е. если

R

Если число A удовлетворяет условиям одного из этих определений, будем записывать , или , или .

Пусть функция f определена на интервале , где , и пусть A – некоторое число.

Определение 2. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к , если (на языке последовательностей)

,

или если (на языке “ ”)

> 0 R .

Если число A удовлетворяет условиям определения 2, будем записывать

, или , или .

Пусть a и b – некоторые числа, . Объединение интервалов и будем называть проколотой окрестностью бесконечности и обозначать символом : .

Определение 3. Пусть функция f определена в и пусть A – некоторое число. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к ¥, если

(на языке последовательностей)

,

или если (на языке “ε−δ”)

: .

Если число A удовлетворяет условиям этого определения, будем записывать

, или , или A = f (¥).

Пример 1. Пусть . Этим равенством f определена при всех , т.е. она определена в проколотой окрестности бесконечности = (-∞;0) (0;+∞). Покажем, что

Докажем равенство Пусть – некоторая последова- тельность, такая, что 1) при всех k N и 2) . Заметим: , причем , так как х (п. 3.4., теорема 1). Значит, f (x )→1. Здесь - произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 1) и 2). Следователь- но, число 1 удовлетворяет определению 1. Доказательства равенств и аналогичны.

В рассмотренном примере все три предела одинаковы. Это не случайно, ибо справедлива теорема, аналогичная теореме 1, п.4.3.

Теорема 1. (О связи предела функции при х→∞ с ее пределами при х→ + ∞ и при → -∞)Пусть функция f определена в , и пусть A – некоторое число. Для того чтобы A было пределом f при , необходимо и достаточно, чтобы A было пределом f как при , так и при .

► Необходимость. Пусть А = . Зaдадим некоторое ε > 0. В силу определения 3. найдется Δ > 0 такое, что для всякого вещественного х, удовлетво- ряющего неравенству │ х │> Δ справедливо │ f (x) – A │< ε. В частности, последнее неравенство справедливо при х > Δ: х > Δ ═›| f (x) – A | < ε.

Здесь положительное ε было задано произвольно, так что можем записать:

В силу определения 1 это означает: Доказательство равенства проводится аналогично.

Достаточность. Пусть Зададим некоторое ε>0. Так как , в силу определения 1 существует Δ₁> 0 такое, что при всех х > Δ₁ справедливо | f (x) – A | < ε. Так как , в силу определения 2 су- ществует Δ₂ >0 такое, что при всех х <- Δ₂ справедливо не равенство | f(x) – A| < ε. Обозначим: Δ = max { Δ₁, Δ₂ }. Если х удовлетворяет неравенству | х| > Δ, то для него справедливо либо х > Δ₁, либо х <- Δ₂. И в том, и в другом случае выполняется . Таким образом, | х| > Δ Þ . Но было задано произ- вольным. Значит,

В силу определения 3. это означает: ◄

Пример 2. Доказать: (число e было введено в п. 3.6.).

► Заметим, что степень определена для тех x, при которых , т.е. при и . Таким образом, функция определена в = (-∞;-2) . Из теоремы 1 следует, что достаточно доказать равенства и .

*) Докажем, что .

Пусть – последовательность такая, что 1) и 2) х . Обозначим через целую часть числа , т.е. - натуральное число такое, что . Из этих неравенств для х _k следует:

(4)

Так как , то и ; поэтому из равенства (см. п. 3.6., Следствие) следует:

; .

Отсюда: ,

.

Теперь из (4) и теоремы о “сжатой“ последовательности (п.3.3. теорема 5) следует: , т.е. . Здесь – произвольная последовательность, удовлетворяющая указанным выше условиям 1) и 2), так что

.

В силу определения 1 .

**) Докажем равенство .

Пусть – некоторая последовательность такая, что

1) , и 2) . Обозначим: . Очевидно, , и по доказанному в *) . Справедливы равенства:

.

Отсюда: , и равенство доказано.

Теперь из *), **) и теоремы 1 следует .

4.5. Некоторые теоремы о пределах

Теоремы этого пункта аналогичны теоремам из п.3.3.

Теорема 1. (О единственности предела) Пусть функция f определена в проколотой окрестности , . Если предел функции f при x, стремящемся к a существует, то только один.

Предположим, что нашлись два различных числа A и B, каждое из кото- рых является пределом функции f при x, стремящемся к а. Пусть – некоторая последовательность такая, что 1) все ее члены содержатся в и 2) . В си- лу определения 1, п.4.2., последовательность значений функции должна сходиться и к числу A, и к числу B, а это противоречит теореме о единственности предела последовательности

Теорема 2. (О стабилизации знака неравенства) Пусть . а p – некоторое число, (). Тогда существует такое, что при всех , справедливо неравенство .

Пусть . Положим . В силу определения 1',п. 4.2., найдется такое, что при всех справедливо неравенство , кото- рое эквивалентно неравенствам . Но . Значит, при всех справедливо , что и требовалось доказать. Доказательство теоремы в случае аналогично.

Теорема 3. (О предельном переходе в неравенстве) Пусть функции f и g определены в , и пусть , . Если при всех имеет место (f (x) ≥ g (x)), то и (A≥ B)..

Пусть – некоторая последовательность такая, что 1) все ее члены содер- жат ся в и 2) . Рассмотрим последовательности и . Так как при всех имеет место (f (x) ≥ g (x)),, то (f (x_k) ≥ g(x_k))В силу теоремы 4., п.3.3., отсюда следует (A≥ B).

Следствие. Пусть f определена в и пусть при всех х справедливо (f (x) B), где В - некоторое число. Если . то ().

► Введем в рассмотрение функцию g, тождественно в равную В, т.е. для всех g (x) = B. Очевидно, Можем записать: при справед- ливо f (x) ≤ ≤g(x) (f (x) ≥ g (x)) В силу теоремы 3 А ≤ В (A ≥ B). ◄

Замечание 1. Если при всех имеет место строгое неравенство (f (x) > g (x)), то,вообще говоря, для пределов A и B отсюда не следует строгое неравенство А< В (A > B), т.е. возможно равенство А = В. Действительно, если , а , то при имеем . Таким образом, в проколотой окрестности точки 0 , но .

Теорема 4. (О “ сжатой“ функции) Пусть функции f, g и h определены в и удовлетворяют требованиям

:1) при всех и 2) , . Тогда функция g имеет предел при , причем .

Пусть – некоторая последовательность такая, что 1) все ее чле- ны содержатся в и 2) . Из условий теоремы вытекает: и . Отсюда и из теоремы 5,п.3.3., получим: . Так как – произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 1) и 2), то в силу определения 1, п.4.2., .

Теорема 5. (Об арифметических действиях с пределами) Пусть функции f и g определены в и пусть , . Тогда

а) ;

б) ;

в) если , то .

Докажем сначала утверждения а) и б). Пусть – произвольная после- довательность такая, что 1) все ее члены содержатся в и 2) . В силу условий теоремы и , а тогда А+В и . Так как – произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 1) и 2), то из определения 1, п. 4.2., следуют равенства а) и б).

Докажем утверждение в). Будем считать для определенности, что . Пусть p – некоторое число, для которого выполнены условия . Согласно теореме 2 найдется такое, что при всех справедливо . Значит, если – произвольная последовательность такая, что 1) все ее члены содер- жатся в и 2) , то все члены последовательности отличны от нуля, и потому можно опереться на утверждение в) теоремы 1, п. 3.5: . В силу определения 1, п. 4.2., отсюда следует:

Замечание 2. Теоремы, аналогичные теоремам этого параграфа, справедливы и для пределов при x, стремящемся к и (), а также к +¥, –¥ и ¥.

Упражнение. Сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам этого параграфа для случаев, когда x стремится к , (), +¥, –¥ и ¥.

4.6. Бесконечно малые функции

Определение 1. Функцию a называют бесконечно малой функцией при x, стремящемся к a, а , (б.м. функцией при х → а), если она определена в и если .

Аналогичны определения функций, бесконечно малых при x, стремящемся к , к , а также к +¥, к –¥, к ¥.

Пример 1. является б.м. функцией при х → 0 (п.4.2., пример 1).

Пример 2. Пусть а, C и m – заданные вещественные числа, причем и . Степень определена, если ее основание положительно, т.е. при . Положим и покажем, что является б.м. функцией при .

Нужно доказать:

: : .

Пусть задано . Рассмотрим неравенство , т.е. . При оно равносильно неравенству , поэтому, если положить , то можем записать: Þ .Так как здесь e - произ- вольное положительное число, то мы установили: для любого ε>0 существует δ > 0 (например, δ = ) такое, что для всякого х, удовлетворяющего неравенствам 0 < х – a < δ справедливо | α; (x) | < ε. Тем самым равенство доказано.

Замечание 1 Для некоторых m > 0 степень определена и при х < a (например, для μ N). Для таких μ является б.м. функцией при . Доказательство аналогично приведенному выше.

Пример 3. Пусть C и m – заданные вещественные числа, причем и . Функция является б.м. функцией при .

означает: .

Пусть задано . Рассмотрим неравенство , т.е. . При оно равносильно неравенству , поэтому, если положить , то при справедливо , таким образом, Þ .Так как здесь e – произвольное положительное число, то равенство доказано.

Замечание 2. Если показатель m > 0 таков, что степень определена и при (например, ), то является функцией, бесконечно малой при и при . Доказательство аналогично приведенному выше.

Для б.м.