![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
4.1. Функции одной переменной
Определение 1. Пусть X Ì R – некоторое множество, и пусть сформулировано правило f, в силу которого каждому числу сопоставлено некоторое число y. Тогда будем говорить, что на множестве X определена функция f, или функция f (x), или функция y = f (x) (рис.4).
Рис. 4.
Понятие, описанное определением 1, представляет собой отображение множе- ства Х в множество R (п.1.2.). Множество X называют областью определения функ- ции f и обозначают через D (f). Число y в определении 1 называют значением функции f в точке x и обозначают через f (x). Совокупность всех значений, принимаемых функцией f в точках множества X, называют множеством значений функции f и обозначают через E (f). В записи y = f (x) букву x называют аргументом или незави- симой переменной, а y – функцией или зависимой переменной.
4.2. Предел функции при x, стремящемся к a, a Î R
Ниже мы рассматриваем функции, областями определения которых являются промежутки или объединения нескольких промежутков. Наиболее часто в качестве об- ласти определения функции выступает окрестность или проколотая окрестность неко- торой точки.
В п. 3.2. окрестностью точки a, a Î R мы назвали всякий интервал, содер- жащий эту точку. Проколотой окрестностью точки a, a Î R назовем множество, ко- торое получается в результате удаления из окрестности
самой точки a. Таким об- разом, если интервал (a; b) является окрестностью точки a (т.е., если a < a < b), то проколотая окрестность этой точки представляет собой объединение интервалов (a; a) и (a; b); обозначать это множество будем символом
. Проколотой e-окрестно- стью точки a (a Î R, e > 0) назовем объединение интервалов
и
; обозначать это множество будем символом
:
.
Предел функции принадлежит к начальным понятиям математического анализа. Его определение опирается на понятие сходящейся последовательности. Заметим, что если аргумент x функции f пробегает некоторую числовую последовательность , то значения функции в точках
образуют числовую последовательность
, где
Пусть функция f определена в проколотой окрестности , a Î R, и пусть A – некоторое число. Заметим: в точке а функция может быть определена, а может быть и нет.
Определение 1. Число A назовем пределом функции f при x, стремящемся к a, если для всякой последовательности , удовлетворяющей условиям
1) все члены последовательности содержатся в и
2) последовательность сходится к а,
соотвеетствующая последовательность значений функции сходится к A.
Будем пользоваться компактной записью условий определения 1:
N
Прочесть эту строчку можно так: для всякой последовательности { x k }, лежа- щей в проколотой окрестности точки а и сходящейся к а, соответствующая последо- вательность { f (x k } значений функции сходится к А.
Геометрический смысл определения 1 очевиден: какова бы ни была последова- тельность значений аргумента , сходящаяся к a (она изображается последова- тельностью точек на числовой оси, сгущающейся вокруг точки a), соответствующая последовательность
значений функции изображается последовательностью точек, сгущающейся вокруг точки А.
Если число A удовлетворяет условиям определения 1, будем записывать:
или
.
Пример 1. Покажем, что .
Начнем с доказательства неравенств, к которым часто будем обращаться в дальнейшем.
Лемма. При всех х
справедливы неравенства
(1)
► Пусть сначала . Рассмотрим круг некоторого радиуса r, и пусть OA и OB – два радиуса этого круга, ограничивающие сектор S с центральным углом x (рис.5.). Треугольник AOB содержится в секторе S, который, в свою очередь, содержится в прямоугольном треугольнике AOC; поэтому площадь D AOB не превышает площади S,
![]() |
которая не превосходит площади D AOC, т.е.
,
где . Отсюда:
; а так как все части этиx неравенств неотри- цательны, то можно записать
.
Пусть теперь х ; тогда t = - x лежит в
, и по доказанному выше |sin t | ≤ | t |≤ | tg t |. Отсюда, так как sin(- x) = - sin x и tg(- x) = -tgx, получаем для х, при- надлежащих
:
, и утверждения леммы доказаны.◄
Перейдем к доказательству равенства .
► Выберем какую-нибудь проколотую окрестность точки 0; например, пусть это будет интервал (–1; 1), из которого удалена точка 0:
. Пусть
- последовательность такая, что 1) все ее члены содержатся в
и 2)
. Таких последовательностей существует бесконечно много, например,
,
и т.п.;
– одна из подобных последовательностей, любая из них. В силу неравенств (1) при всех натуральных k имеем: 0
. Отсюда и из теоремы о “сжатой “ последовательности (теорема 5, п. 3.3.) следует:
, а тогда и
. Таким образом, какова бы ни была последовательность
, удовлетворяющая сформулированным выше условиям 1) и 2), соответствующая последовательность
сходится к A = 0; следовательно, в силу определения 1
◄
Пример 2. Пусть f (x) = [ x ], где [ x ] есть целая часть числа х, т.е. наиболь- шее из целых чисел, не превосходящих х (если n x < n+1, где n
Z, то [ x ]= n). На рис.6. изображен график этой функции. Покажем, что она не имеет предела при х, стремящемся к нулю.
Рассмотрим какую-нибудь проколотую окрестность точки 0, например, интервал (–1; 1), из которого удалена точка 0. Обозначим
и
и рассмотрим б.м. последовательности
и
. Каждая из них удовлетво- ряет требованиям 1) и 2) определения 1. Очевидно, при всех натуральных k
и
.; поэтому
и
. Таким образом, для указан-ных последовательностей
и
соответствующие им последовательности
и
значений функции имеют различные пределы.
![]() |
Следовательно, не существует числа A, удовлетворяющего определению 1.
Приведём еще одно определение предела функции, эквивалентное опреде- лению 1, но сформулированное в других терминах.
Пусть функция f определена в , a Î R, и пусть A – некоторое число.
Определение 2. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к a, если для любого e > 0 существует d > 0 такое, что при всех x, удовлетворяющих неравенствам 0 < , справедливо
неравенство .
Запишем условия этого определения, используя логические знаки:
"e > 0 $d > 0: " x Î R .
Прочитать эту строчку можно так: для любого положительного ε существует положительное δ такое, что для всякого вещественного х, удовлетворяющего нера- венствам 0 < | x – a | < δ, соответствующее значение функции f (x) удовлетворяет неравенству | f (x) - A | < ε.
Условия определения 2 можно записать еще и так:
"e > 0 $d > 0 " x Î R .
Геометрический смысл записи представлен на рис.7:
Рис. 7.
как только расстояние от х до точки а становится меньше δ, так сразу расстояние между точкой f (x) и точкой A становится меньше e. Существенно, что d, облада- ющее указанным свойствам, существует для любого e, как бы мало оно ни было.
Как уже было сказано выше, определения 1 и 2 эквивалентны, т.е. они описыва- ют одно и то же математическое понятие – предел функции f при x, стремящимся к a. Конечно, их эквивалентность подлежит доказательству; это доказательство можно найти в учебниках [1] и [2].
В дальнейшем определение 1 будем называть определением предела функции на языке последовательностей, а определение 2 – определением предела функции на языке “ e – d”.
Пример 3. На языке ‘ ε- δ’ доказать, что .
Неравенство
в нашем примере выглядит так:
. Таким образом, нужно показать, что для любого e > 0 можно подобрать d > 0 такое, что если
, то
. Согласно неравенствам (1)
, поэтому если
, то
. Следовательно, для всякого e > 0 можно указать d > 0 (например, d = e) такое, что
Þ
; поэтому
.
4.3. Односторонние пределы
Пусть функция f определена на некотором интервале (a; b) и пусть A – некоторое число.
Определение 1. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к a справа, если для всякой последовательности такой, что
1) все ее члены лежат на (а; b) и
2) она сходится к а, соответствующая последовательность значений функции сходится к А, т.е.
.
Это определение сформулировано на языке последовательностей. Сформулируем эквивалентное определение на языке “ ε- δ”
Пусть функция f определена на некотором интервале (a;b) и пусть А – некоторое число..
Определение 1΄. Число А называют пределом функции f при х, стремящемся к а справа, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всякого х, удов- летворяющего неравенствам а < x < x+δ, соответствующее значение функции f (x) удовлетворяет неравенству | f (x) – A | < ε,т.е.
"e > 0 $d > 0: " x Î R .
. Если A есть предел функции f при x, стремящемся к a справа, будем записывать: или
или A = f (a + 0).
Определение 2. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к b слева, если (на языке последовательностей)
,
или если (на языке “ ε- δ”)
"e > 0 $d > 0: " x Î R .
Если A является пределом функции f при x, стремящимся к b слева, будем применять обозначения: или
или A = f (b – 0).
Теорема 1. (О связи предела функции с ее односторонними пределами)
Пусть функция f определена в ,
, и пусть A – некоторое число. Для того чтобы A было пределом функции f при
, необходимо и достаточно, чтобы A было односторонним пределом функции f как при х, стремящемся к а справа, так и при х, стремящемся к а слева..
Необходимость. Пусть
. Зададим
; найдется
такое, что
Þ
, а это означает, что справедливы два утверждения:
Þ
; (2)
Þ
. (3)
Так как было задано произвольно, то из (2) следует:
:
,
т.е. . Из (3) аналогично следует:
.
Достаточность. Пусть . Зададим
. Так как
, найдется
такое, что
Þ
. Так как
, найдется
такое, что
Þ
. Обозначим:
. Заметим: если х удовлетворяет неравенствам 0 < | x - a | < δ, то для него справедливо либо
< < а, либо
. И в том, и в другом случае выполняется
. Таким образом, 0 < | x - a | < δ Þ
. Но
было задано произвольно. Значит,
:
,
поэтому .
Упражнение. Для функции f примера 2, п. 4.2, показать, что ;
(
пишут вместо x → 0 - 0; х → +0 пишут вместо
).
4.4. Предел функции на бесконечности
Пусть функция f определена на интервале , где
, и пусть A – некоторое число.
Определение 1. Число A называют пределом функции f при x, стремящем- ся к +¥, если для всякой последовательности , удовлетворяющей условиям
1) все члены последовательности содержатся в интервале (а;+∞) и
2) х , соответствующая ей последовательность
значений функции сходится к A, т.е. если΄
.
Это определение сформулировано на языке последовательностей. Приведем формулировку эквивалентного определения на языке “ ε – δ”
Пусть функция f определена на интервале (а;+∞),где а R, и пусть А - некоторое число.
Определение 1′. Число А называют пределом функции f при х, стремящемся к +∞, если для любого ε > 0 существует Δ > 0 такое, что для всякого х, удовлетво- ряющего неравенству x > Δ, соответствующее значение функции f (x) удовлетворяет неравенству , т.е. если
R
Если число A удовлетворяет условиям одного из этих определений, будем записывать , или
, или
.
Пусть функция f определена на интервале , где
, и пусть A – некоторое число.
Определение 2. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к , если (на языке последовательностей)
,
или если (на языке “ ”)
> 0
R
.
Если число A удовлетворяет условиям определения 2, будем записывать
, или
, или
.
Пусть a и b – некоторые числа, . Объединение интервалов
и
будем называть проколотой окрестностью бесконечности и обозначать символом
:
.
Определение 3. Пусть функция f определена в и пусть A – некоторое число. Число A называют пределом функции f при x, стремящемся к ¥, если
(на языке последовательностей)
,
или если (на языке “ε−δ”)
:
.
Если число A удовлетворяет условиям этого определения, будем записывать
, или
, или A = f (¥).
Пример 1. Пусть . Этим равенством f определена при всех
, т.е. она определена в проколотой окрестности бесконечности
= (-∞;0)
(0;+∞). Покажем, что
Докажем равенство
Пусть
– некоторая последова- тельность, такая, что 1) при всех k
N
и 2)
. Заметим:
, причем
, так как х
(п. 3.4., теорема 1). Значит, f (x
)→1. Здесь
- произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 1) и 2). Следователь- но, число 1 удовлетворяет определению 1. Доказательства равенств
и
аналогичны.
В рассмотренном примере все три предела одинаковы. Это не случайно, ибо справедлива теорема, аналогичная теореме 1, п.4.3.
Теорема 1. (О связи предела функции при х→∞ с ее пределами при х→ + ∞ и при → -∞)Пусть функция f определена в , и пусть A – некоторое число. Для того чтобы A было пределом f при
, необходимо и достаточно, чтобы A было пределом f как при
, так и при
.
► Необходимость. Пусть А = . Зaдадим некоторое ε > 0. В силу определения 3. найдется Δ > 0 такое, что для всякого вещественного х, удовлетво- ряющего неравенству │ х │> Δ справедливо │ f (x) – A │< ε. В частности, последнее неравенство справедливо при х > Δ: х > Δ ═›| f (x) – A | < ε.
Здесь положительное ε было задано произвольно, так что можем записать:
В силу определения 1 это означает: Доказательство равенства
проводится аналогично.
Достаточность. Пусть
Зададим некоторое ε>0. Так как
, в силу определения 1 существует Δ1> 0 такое, что при всех х > Δ1 справедливо | f (x) – A | < ε. Так как
, в силу определения 2 су- ществует Δ2 >0 такое, что при всех х <- Δ2 справедливо не равенство | f(x) – A| < ε. Обозначим: Δ = max { Δ1, Δ2 }. Если х удовлетворяет неравенству | х| > Δ, то для него справедливо либо х > Δ1, либо х <- Δ2. И в том, и в другом случае выполняется
. Таким образом, | х| > Δ Þ
. Но
было задано произ- вольным. Значит,
В силу определения 3. это означает: ◄
Пример 2. Доказать: (число e было введено в п. 3.6.).
► Заметим, что степень определена для тех x, при которых
, т.е. при
и
. Таким образом, функция
определена в
= (-∞;-2)
. Из теоремы 1 следует, что достаточно доказать равенства
и
.
*) Докажем, что .
Пусть – последовательность такая, что 1)
и 2) х
. Обозначим через
целую часть числа
, т.е.
- натуральное число такое, что
. Из этих неравенств для х k следует:
(4)
Так как , то и
; поэтому из равенства
(см. п. 3.6., Следствие) следует:
;
.
Отсюда: ,
.
Теперь из (4) и теоремы о “сжатой“ последовательности (п.3.3. теорема 5) следует: , т.е.
. Здесь
– произвольная последовательность, удовлетворяющая указанным выше условиям 1) и 2), так что
.
В силу определения 1 .
**) Докажем равенство .
Пусть – некоторая последовательность такая, что
1)
, и 2)
. Обозначим:
. Очевидно,
, и по доказанному в *)
. Справедливы равенства:
.
Отсюда: , и равенство
доказано.
Теперь из *), **) и теоремы 1 следует .
4.5. Некоторые теоремы о пределах
Теоремы этого пункта аналогичны теоремам из п.3.3.
Теорема 1. (О единственности предела) Пусть функция f определена в проколотой окрестности ,
. Если предел функции f при x, стремящемся к a существует, то только один.
Предположим, что нашлись два различных числа A и B, каждое из кото- рых является пределом функции f при x, стремящемся к а. Пусть
– некоторая последовательность такая, что 1) все ее члены содержатся в
и 2)
. В си- лу определения 1, п.4.2., последовательность значений функции
должна сходиться и к числу A, и к числу B, а это противоречит теореме о единственности предела последовательности
Теорема 2. (О стабилизации знака неравенства) Пусть . а p – некоторое число,
(
). Тогда существует
такое, что при всех
, справедливо неравенство
.
Пусть
. Положим
. В силу определения 1',п. 4.2., найдется
такое, что при всех
справедливо неравенство
, кото- рое эквивалентно неравенствам
. Но
. Значит, при всех
справедливо
, что и требовалось доказать. Доказательство теоремы в случае
аналогично.
Теорема 3. (О предельном переходе в неравенстве) Пусть функции f и g определены в ,
и пусть
,
. Если при всех
имеет место
(f (x) ≥ g (x)), то и
(A≥ B)..
Пусть
– некоторая последовательность такая, что 1) все ее члены содер- жат ся в
и 2)
. Рассмотрим последовательности
и
. Так как при всех
имеет место
(f (x) ≥ g (x)),, то
(f (xk) ≥ g(xk))В силу теоремы 4., п.3.3., отсюда следует
(A≥ B).
Следствие. Пусть f определена в и пусть при всех х
справедливо
(f (x)
B), где В - некоторое число. Если
. то
(
).
► Введем в рассмотрение функцию g, тождественно в равную В, т.е. для всех
g (x) = B. Очевидно,
Можем записать: при
справед- ливо f (x) ≤ ≤g(x) (f (x) ≥ g (x)) В силу теоремы 3 А ≤ В (A ≥ B). ◄
Замечание 1. Если при всех имеет место строгое неравенство
(f (x) > g (x)), то,вообще говоря, для пределов A и B отсюда не следует строгое неравенство А< В (A > B), т.е. возможно равенство А = В. Действительно, если
, а
, то при
имеем
. Таким образом, в проколотой окрестности точки 0
, но
.
Теорема 4. (О “ сжатой“ функции) Пусть функции f, g и h определены в и удовлетворяют требованиям
:1) при всех
и 2)
,
. Тогда функция g имеет предел при
, причем
.
Пусть
– некоторая последовательность такая, что 1) все ее чле- ны содержатся в
и 2)
. Из условий теоремы вытекает:
и
. Отсюда и из теоремы 5,п.3.3., получим:
. Так как
– произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 1) и 2), то в силу определения 1, п.4.2.,
.
Теорема 5. (Об арифметических действиях с пределами) Пусть функции f и g определены в и пусть
,
. Тогда
а) ;
б) ;
в) если , то
.
Докажем сначала утверждения а) и б). Пусть
– произвольная после- довательность такая, что 1) все ее члены содержатся в
и 2)
. В силу условий теоремы
и
, а тогда
А+В и
. Так как
– произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям 1) и 2), то из определения 1, п. 4.2., следуют равенства а) и б).
Докажем утверждение в). Будем считать для определенности, что . Пусть p – некоторое число, для которого выполнены условия
. Согласно теореме 2 найдется
такое, что при всех
справедливо
. Значит, если
– произвольная последовательность такая, что 1) все ее члены содер- жатся в
и 2)
, то все члены последовательности
отличны от нуля, и потому можно опереться на утверждение в) теоремы 1, п. 3.5:
. В силу определения 1, п. 4.2., отсюда следует:
Замечание 2. Теоремы, аналогичные теоремам этого параграфа, справедливы и для пределов при x, стремящемся к и
(
), а также к +¥, –¥ и ¥.
Упражнение. Сформулировать и доказать теоремы, аналогичные теоремам этого параграфа для случаев, когда x стремится к ,
(
), +¥, –¥ и ¥.
4.6. Бесконечно малые функции
Определение 1. Функцию a называют бесконечно малой функцией при x, стремящемся к a, а , (б.м. функцией при х → а), если она определена в
и если
.
Аналогичны определения функций, бесконечно малых при x, стремящемся к , к
, а также к +¥, к –¥, к ¥.
Пример 1. является б.м. функцией при х → 0 (п.4.2., пример 1).
Пример 2. Пусть а, C и m – заданные вещественные числа, причем и
. Степень
определена, если ее основание положительно, т.е. при
. Положим
и покажем, что
является б.м. функцией при
.
Нужно доказать:
:
:
.
Пусть задано . Рассмотрим неравенство
, т.е.
. При
оно равносильно неравенству
, поэтому, если положить
, то можем записать:
Þ
.Так как здесь e - произ- вольное положительное число, то мы установили: для любого ε>0 существует δ > 0 (например, δ =
) такое, что для всякого х, удовлетворяющего неравенствам 0 < х – a < δ справедливо | α; (x) | < ε. Тем самым равенство
доказано.
Замечание 1 Для некоторых m > 0 степень определена и при х < a (например, для μ
N). Для таких μ
является б.м. функцией при
. Доказательство аналогично приведенному выше.
Пример 3. Пусть C и m – заданные вещественные числа, причем и
. Функция
является б.м. функцией при
.
означает:
.
Пусть задано . Рассмотрим неравенство
, т.е.
. При
оно равносильно неравенству
, поэтому, если положить
, то при
справедливо
, таким образом,
Þ
.Так как здесь e – произвольное положительное число, то равенство
доказано.
Замечание 2. Если показатель m > 0 таков, что степень определена и при
(например,
), то
является функцией, бесконечно малой при
и при
. Доказательство аналогично приведенному выше.
Для б.м.
Дата публикования: 2015-04-07; Прочитано: 164 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!