Аппроксимация производных

Для метода конечных разностей, рассматриваемого в следующем разделе, потребуются аппроксимации значений производных в узлах равномерной сетки. Введем такую сетку на отрезке : . Обозначим для краткости: .

Для нахождения значений производных воспользуемся разложениями функции в ряд Тейлора:

(11.18)

Используя выражения (11.18), можно построить разные приближенные формулы для производных. Из первого разложения можно получить следующую формулу для первой производной:

. (11.19)

Эта формула называется правой производной и имеет первый порядок точности. Более подробно:

.

Здесь q – некоторая точка в интервале .

Аналогично из второго разложения (11.18) найдем формулу для левой производной, также имеющей первый порядок точности:

. (11.20)

Вычитая из первого разложения (11.18) второе, получим формулу центральной производной:

. (11.21)

Формула центральной производной имеет второй порядок точности:

. (11.22)

Сложив оба разложения (11.18), найдем аппроксимационную формулу для второй производной:

. (11.23)

Формула для второй производной имеет второй порядок точности:

. (11.24)

Найдем также более точную “одностороннюю” аппроксимацию первой производной. Для этого воспользуемся разложениями:

Вычтя из первой формулы вторую и выделив из полученного выражения , получим аппроксимационную формулу, имеющую второй порядок точности:

. (11.25)

В частности, в левой граничной точке отрезка имеем:

. (11.26)