Дослідити на екстремум ізопериметричну задачу варіаційного числення

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ

МЕТОДИ ОПТИМІЗАЦІЇ

ІЗОПЕРИМЕТРИЧНІ ЗАДАЧІ ВАРІАЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ТА ЗАВДАННЯ

До виконання розрахункової роботи № 2

для студентів

Базових напрямів 6.040301 “Прикладна математика” та

6.040302 “Інформатика”

Затверджено на засіданні кафедри прикладної математики

Протокол № 10

Від18.04.2013 р.

Львів – 2013

Методи оптимізації. Ізопериметричні задачі варіаційного числення: Методичні вказівки та завдання до виконання розрахункової роботи № 2 для студентів базових напрямів 6.040301 “Прикладна математика” та 6.040302 “Інформатика” / Уханська О.М. – Львів: Видавництво Національного універ-ситету "Львівська політехніка", 2013. – 12с.

Методичні вказівки та завдання призначені для самостійної роботи студентів напрямів "Прикладна математика" та "Інформатика" по вивченню курсу "Методи оптимізації" та для виконання розрахункової роботи № 2на тему “Ізопериметричні задачі варіаційного числення”

Укладач Уханська О.М., канд. фіз.-мат. наук, доц.

Відповідальний за випуск Строчик М.М., канд. фіз.-мат. наук, доц.

Рецензенти Дрогомирецька Х.Т.,канд. фіз.-мат. наук, доц.,

Ярошко С.М., канд. фіз.-мат. наук, доц.

Метою методичних вказівок є закріплення теоретичного матеріалу з розділу “Варіаційне числення” курсу “Методи оптимізації” і розширення навиків студентів у практичному застосуванні теоретичного матеріалу. Робота складається із завдань до розрахункової роботи № 2 на тему “Ізопериметричні задачі варіаційного числення” і вказівок до їх виконання. Зміст методичних вказівок повністю відповідає програмі з курсу “Методи оптимізації” для студентів вузів напряму "Прикладна математика".

Ізопериметрична задача варіаційного числення

До задач оптимізації належать задачі, переважно економічного характеру, в яких необхідно знайти екстремуми функцій або функціоналів за виконання певних умов. Суть таких задач полягає у тому, щоб із множини можливих варіантів досліджуваного процесу вибрати за деякою ознакою найкращий (оптимальний) варіант.

Задачі оптимізації можна поділити на такі класи: задачі математичного програмування; задачі варіаційного числення; задачі оптимального керування.

Основна задача варіаційного числення полягає у пошуку такої кривої чи поверхні, яка надає екстремуму функціоналу. Варіаційною задачею на умовний екстремум називається задача дослідження на екстремум функціоналу за умови, що на функції, від вибору яких залежить цей функціонал, крім крайових, накладено інші додаткові умови, які називають зв'язками. В залежності від їх характеру зв'язки поділяють на: а) алгебраїчні або скінченні (голономні); б) диференціальні або неголономні; в) інтегральні або ізопериметричні. За допомогою методу множників Лагранжа задачі на умовний екстремум зводяться до задач на безумовний екстремум.

У найпростішому варіанті ізопериметрична задача формулюється так: серед гладких функцій , які задовольняють крайові умови , знайти екстремум функціонала

(1)

за умови, що інший функціонал набуває сталого значення (задовольняє інтегральне рівняння зв'язку):

. (2)

Вважатимемо, що функції та є неперервними разом зі своїми похідними першого та другого порядків за усіма аргументами у деякій області площини і для довільних значень похідної .

Теорема Ейлера. Якщо крива надає екстремуму функці-оналу (1) у класі за умови (2) та крайових умов , і якщо не є екстремаллю функціонала (2), то існує така стала , що крива надає екстремуму функціоналу

.

Параметр називають невизначеним множником Лагранжа, а функцію – функцією Лагранжа.

Принцип взаємності. Сукупність умовних екстремалей не залежить від того, чи шукати екстремум функціоналу при фіксованому значенні функціоналу , чи, навпаки, шукати екстремум функціоналу при фіксованому значенні .

Зауваження. На відміну від алгебраїчних чи диференціальних, інтег-ральні зв'язки не накладають жорстких обмежень на шукані функції, оскільки з них не можна виразити одні з функцій через інші. Тому кількість ізоперимет-ричних умов не обов'язково повинна бути меншою за кількість шуканих функцій.

Приклад. Серед всіх плоских кривих заданої довжини , які спо-лучають дві задані точки і знайти таку, яка надає екстремуму функціоналу . Встановити тип екстремуму та знайти екст-ремальне значення функціонала.

►Задача полягає у пошуку екстремуму функціонала

за крайових умов та ізопериметричного зв'язку

.

Запишемо функцію Лагранжа і допоміжний функціонал:

Оскільки

,

то рівняння Ейлера має вигляд

Поклавши в останньому рівнянні , отримаємо диференціаль-не рівняння для невідомої функції :

.

Про інтегрувавши, отримаємо:

,

звідки

;

Спростимо останній вираз, поклавши . Тоді

; ; .

Отже, і шукані екст-ремалі мають вигляд .

Знайдемо з крайових умов значення сталих інтегрування та множника Лаг-ранжа:

Оскільки , то з останнього рівняння випли­ває, що

Тоді

Рівняння зв'язку набуває вигляду:

Отже, , і допустима екстремаль

.

Щоб з’ясувати тип екстремуму, скористаємося достатніми умовами Лежандра. Оскільки на допустимій екстремалі

,

але знак не зберігається, то функціонал досягає слабкого мінімуму:

◄

Завдання для самостійної роботи

Дослідити на екстремум ізопериметричну задачу варіаційного числення.

1.

2.

3.

4.

5. ;

6. .

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31. ;

32. .

33.

34.

35.

36.

37.

38. .

39.

40.

41. .

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49. .

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56. .

57.

58.

59.

60.