![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Стационарным (точнее, стационарным в широком смысле) случайным процессом X(t) называется случайный процесс, математическое ожидание которого постоянно, а корреляционная функция зависит от разности своих аргументов, т.е.
где
,
Дисперсия стационарной случайной функции постоянна
Стационарный случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным спектром, если существует такая действительная неотрицательная функция , определённая на всей оси частот
и называемая спектральной плотностью (энергетическим спектром), что справедливы интегральные формулы Винера-Хинчина:
Спектральная плотность равна пределу отношения дисперсии, приходящийся на данный интервал частот,к длине этого интервала,когда последняя стремится к нулю
Формулы Винера - Хинчина могут быть также записаны в экспоненциальном виде
Как , так и
- действительные, неотрицательные чётные функции, но
рассматривается только в интервале (0;
). Дисперсия стационарного процесса с непрерывным спектром может быть выражена в виде интеграла от спектральной плотности
Нормированной корреляционной функций
называется функция
Полезными характеристиками стационарных случайных процессов с непрерывным спектром является эффективная ширина спектра
и средний интервал корреляции
Геометрически средний интервал корреляции равен основанию прямоугольника с высотой
, площадь которого равна площади под кривой
,
эффективная ширина спектра
равна основанию прямоугольника с высотой
, площадь которого равна площади под кривой
,
12.1 Случайная функция X(t) имеет характеристики и
12.2 Определить стационарна ли функция ?
Решение:
Y(t)- стационарный процесс
12.2 Случайная функция X(t) имеет характеристики
Определить являются ли стационарными функции X(t) и Y(t),
если Y(t)=t ?
Решение:
X(t) - стационарная функция
Y(t) не является стационарной функцией, т.к.
зависит не только от , но и от каждого из аргументов t1 и t2
12.3 Случайная функция X(t) имеет характеристики
201
Найти характеристики случайной функции
Определить стационарны ли функции X(t),Y(t)?
![]() |
Y(t) не является стационарным процессом, действительно,
т.е. зависит от t
12.4 Найти характеристики случайной гармоники X(t)=A cos (ωt+ ),
где A и ω - неслучайные амплитуда и частота, - случайная начальная фаза, равномерно распределённая на отрезке [0;2p].
Показать, что X(t) -стационарный процесс
Решение:т.к. случайная величина распределена равномерно на [0;2p], то дифференциальная функция для неё f(
)=
Найдём математические ожидания функций случайного аргумента ,
Y=cos и Z=sin
M[Y]=M[cos ]=
f (
)d
=
M[Z]=M[sin ]=
·(
)d
=
)]=
-A sin ωt sin
]=
=Acosωt·M[cos ]-Asinωt·M[sin
]= 0 – 0 =0
Найдём математические ожидания функций
Y=cos2 и Z=sin2
M[Y]=M[cos2 ]=
·f(
)d
=
Преобразуем произведение
12.5 Стационарный случайный процесс X(t) имеет корреляционную функцию (b>0,
>0).
Найти корреляционную функцию и дисперсию процесса .
Решение:
Покажем, что
поэтому
![]() |
![]() |
12.6 Найти корреляционную функцию шума, имеющего равномерную спектральную плотность равную
Показать что сечения процесса разнесенные на интервал кратный величине
, не коррелированны
Решение:
сечения не коррелированны.
12.7 Пусть X(t)- стационарный процесс со спектральной плотностью (низкочастотный белый шум)
Найти корреляционную функцию данного процесса
Решение:
dω =
12.8 Спектральная плотность стационарного случайного процесса
при (полосовой белый шум)
а) Найти корреляционную функцию б) Рассмотреть случай
Какому случайному процессу соответствует этот предельный случай?
Решение:
б) при
,
что соответствует гармоническому колебанию на частоте
12.9 Показать, что не существует никакой стационарной случайной функции X(t), корреляционная функция которой постоянна в каком-то интервале
и равна нулю вне его
Решение:
Предположим противное, что существует случайная функция
X(t), для которой , тогда
из этого выражения видно, что для некоторых значений отрицательна, что противоречит свойствам спектральной плотности, и, следовательно, корреляционной функции указанного выше вида существовать не может.
12.10 Найти средний интервал корреляции и эффективную ширину спектра
для стационарного случайного процесса с нормированной корреляционной функцией
Решение:
Изобразим график зависимости
Величина численно
равна заштрихованной площади
Найдём спектральную плотность случайной функции
Эта функция достигает своего максимума при ω=0, при этом
12.11. Функция X(t) - стационарный белый шум с интенсивностью . Найти спектральную плотность X(t)
Решение: т.к. интенсивность стационарного белого шума равна , то
, где
-дельта- функция.
12.12. Показать что энергетический спектр случайного стационарного процесса Y(t) с корреляционной функцией определяется при положительных частотах
ширина спектра процесса с корреляционной функцией
соотношением
, где
энергетический спектр стационарного процесса с корреляционной функцией
Решение:
т.к. чётная функция и
12.13. Определить спектральную плотность , если корреляционная функция
Решение:
12.14 Найти спектральную плотность телеграфного сигнала, если
Решение:
12.15 Найти энергетический спектр, эффективную ширину спектра и средний интервал корреляции стационарного марковского гауссовского шума с корреляционной функцией
Решение:
Эффективная ширина спектра
Средний интервал корреляции
Соотношение неопределенности в данном случае
![]() | ![]() | ||
12.16. Случайная функция X(t) имеет математическое ожидание
и спектральную плотность
Найти корреляционную функцию случайной функции X(t)
Решение:
В предыдущей задаче было показано, что для корреляционной функции вида спектральная плотность имеет вид
Следовательно, в нашем случае
значит и
12.17 Определить корреляционную функцию, дисперсию и величину стационарного случайного процесса, имеющего спектральную плотность
Решение:
как и в предыдущей задаче
12.18. Найти спектральную плотность случайной функции X(t), если её корреляционная функция
Решение:
![]() | |||||||||||
![]() | ![]() | ||||||||||
![]() | ![]() | ||||||||||
![]() | |||||||||||
-2 2
ω = ω =
ω
при =2,
=1 при
=2,
=3
Вид графика зависит от значений параметров
и
12.19. Случайная функция X(t) имеет математическое ожидание и спектральную плотность
Найти корреляционную функцию случайной функции X(t)
Решение: В предыдущей задаче было показано, что для корреляционной
функции вида спектральная плотность имеет вид:
Следовательно
, следовательно
, т.е.
, D
=
Таким образом,
12.20. Найти спектральную плотность случайной функции X(t),если её корреляционная функция
Решение:
12.21. Найти спектральную плотность, эффективную ширину и средний интервал корреляции стационарного случайного процесса X(t) с корреляционной функцией
Решение:
(Интеграл Пуассона )
Итак, , а
Исследуем на экстремум
, критическая точка ω=0 знак
+ - ω=0 -точка max.,
0 ω
![]() |
Дата публикования: 2015-04-06; Прочитано: 767 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!