Спектральное разложение стационарного процесса

Стационарным (точнее, стационарным в широком смысле) случайным процессом X(t) называется случайный процесс, математическое ожидание которого постоянно, а корреляционная функция зависит от разности своих аргументов, т.е.

где ,

Дисперсия стационарной случайной функции постоянна

Стационарный случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным спектром, если существует такая действительная неотрицательная функция , определённая на всей оси частот и называемая спектральной плотностью (энергетическим спектром), что справедливы интегральные формулы Винера-Хинчина:

Спектральная плотность равна пределу отношения дисперсии, приходящийся на данный интервал частот,к длине этого интервала,когда последняя стремится к нулю

Формулы Винера - Хинчина могут быть также записаны в экспоненциальном виде

Как , так и - действительные, неотрицательные чётные функции, но рассматривается только в интервале (0; ). Дисперсия стационарного процесса с непрерывным спектром может быть выражена в виде интеграла от спектральной плотности

Нормированной корреляционной функций

называется функция

Полезными характеристиками стационарных случайных процессов с непрерывным спектром является эффективная ширина спектра

и средний интервал корреляции

Геометрически средний интервал корреляции равен основанию прямоугольника с высотой , площадь которого равна площади под кривой , эффективная ширина спектра равна основанию прямоугольника с высотой , площадь которого равна площади под кривой ,

12.1 Случайная функция X(t) имеет характеристики и

12.2 Определить стационарна ли функция ?

Решение:

Y(t)- стационарный процесс

12.2 Случайная функция X(t) имеет характеристики

Определить являются ли стационарными функции X(t) и Y(t),

если Y(t)=t ?

Решение:

X(t) - стационарная функция

Y(t) не является стационарной функцией, т.к.

зависит не только от , но и от каждого из аргументов t₁ и t₂

12.3 Случайная функция X(t) имеет характеристики

201

Найти характеристики случайной функции

Определить стационарны ли функции X(t),Y(t)?

Решение: X(t)- стационарный процесс,

Y(t) не является стационарным процессом, действительно,

т.е. зависит от t

12.4 Найти характеристики случайной гармоники X(t)=A cos (ωt+ ),

где A и ω - неслучайные амплитуда и частота, - случайная начальная фаза, равномерно распределённая на отрезке [0;2p].

Показать, что X(t) -стационарный процесс

Решение:т.к. случайная величина распределена равномерно на [0;2p], то дифференциальная функция для неё f()=

Найдём математические ожидания функций случайного аргумента ,

Y=cos и Z=sin

M[Y]=M[cos ]= f ()d =

M[Z]=M[sin ]= ·()d = )]= -A sin ωt sin ]=

=Acosωt·M[cos ]-Asinωt·M[sin ]= 0 – 0 =0

Найдём математические ожидания функций

Y=cos2 и Z=sin2

M[Y]=M[cos2 ]= ·f()d = ­

Преобразуем произведение

12.5 Стационарный случайный процесс X(t) имеет корреляционную функцию (b>0, >0).

Найти корреляционную функцию и дисперсию процесса .

Решение:

Покажем, что

поэтому

12.6 Найти корреляционную функцию шума, имеющего равномерную спектральную плотность равную

Показать что сечения процесса разнесенные на интервал кратный величине , не коррелированны

Решение:

сечения не коррелированны.

12.7 Пусть X(t)- стационарный процесс со спектральной плотностью (низкочастотный белый шум)

Найти корреляционную функцию данного процесса

Решение:

dω =

12.8 Спектральная плотность стационарного случайного процесса

X(t) имеет следующий вид

при (полосовой белый шум)

а) Найти корреляционную функцию б) Рассмотреть случай Какому случайному процессу соответствует этот предельный случай?

Решение:

б) при ,

что соответствует гармоническому колебанию на частоте

12.9 Показать, что не существует никакой стационарной случайной функции X(t), корреляционная функция которой постоянна в каком-то интервале и равна нулю вне его

Решение:

Предположим противное, что существует случайная функция

X(t), для которой , тогда

из этого выражения видно, что для некоторых значений отрицательна, что противоречит свойствам спектральной плотности, и, следовательно, корреляционной функции указанного выше вида существовать не может.

12.10 Найти средний интервал корреляции и эффективную ширину спектра для стационарного случайного процесса с нормированной корреляционной функцией

Решение:

Изобразим график зависимости

Величина численно равна заштрихованной площади

Найдём спектральную плотность случайной функции

Эта функция достигает своего максимума при ω=0, при этом

12.11. Функция X(t) - стационарный белый шум с интенсивностью . Найти спектральную плотность X(t)

Решение: т.к. интенсивность стационарного белого шума равна , то

, где -дельта- функция.

12.12. Показать что энергетический спектр случайного стационарного процесса Y(t) с корреляционной функцией определяется при положительных частотах ширина спектра процесса с корреляционной функцией соотношением , где энергетический спектр стационарного процесса с корреляционной функцией

Решение:

т.к. чётная функция и

12.13. Определить спектральную плотность , если корреляционная функция

Решение:

12.14 Найти спектральную плотность телеграфного сигнала, если

Решение:

12.15 Найти энергетический спектр, эффективную ширину спектра и средний интервал корреляции стационарного марковского гауссовского шума с корреляционной функцией

Решение:

Эффективная ширина спектра

Средний интервал корреляции

Соотношение неопределенности в данном случае

12.16. Случайная функция X(t) имеет математическое ожидание и спектральную плотность Найти корреляционную функцию случайной функции X(t)

Решение:

В предыдущей задаче было показано, что для корреляционной функции вида спектральная плотность имеет вид

Следовательно, в нашем случае

значит и

12.17 Определить корреляционную функцию, дисперсию и величину стационарного случайного процесса, имеющего спектральную плотность

Решение:

как и в предыдущей задаче

12.18. Найти спектральную плотность случайной функции X(t), если её корреляционная функция

Решение:

-2 2

ω = ω = ω

при =2, =1 при =2, =3

Вид графика зависит от значений параметров и

12.19. Случайная функция X(t) имеет математическое ожидание и спектральную плотность

Найти корреляционную функцию случайной функции X(t)

Решение: В предыдущей задаче было показано, что для корреляционной

функции вида спектральная плотность имеет вид:

Следовательно

, следовательно , т.е.

, D =

Таким образом,

12.20. Найти спектральную плотность случайной функции X(t),если её корреляционная функция

Решение:

12.21. Найти спектральную плотность, эффективную ширину и средний интервал корреляции стационарного случайного процесса X(t) с корреляционной функцией

Решение:

(Интеграл Пуассона )

Итак, , а

Исследуем на экстремум

, критическая точка ω=0 знак

+ - ω=0 -точка max.,

0 ω

213