а) ДЕСЯТОК

Концентр "Десяток" дуже важливий у вивченні чисел і арифметичних дій, оскільки він займає ключове місце у десятковій системі числення.

Основна мета вивчення - сформувати початкові уявлення про величи­ну кожного числа у кількісному значенні та про натуральний ряд чисел; удо­сконалити уміння лічити предмети; засвоїти назви і позначення кожного чис­ла (називати, розпізнавати, записувати числа), тобто формувати поняття "чи­сло" (кількість предметів) і цифра (знак для позначення числа); удосконалю­вати лічильні навички, уміння порівнювати числа, утворювати число з попе­реднього та одиниці або двох менших чисел.

На вивчення кожного числа і цифри відводиться по 3 уроки. Методика кожного з цих уроків подібна, вона передбачає: ознайомлення з числом і від­повідною цифрою, порівняння і склад числа. Завдання вміщені в підручнику мають одну і ту ж послідовність та подібні за змістом:

1. Лічба предметів у межах даного числа та показ цифри (перелічуємо реальні предмети чи на малюнку);

2. Утворення числа з попереднього і одиниці (за малюнком - до двох крокодилів прийшов ще один);

3. Порівняння числа з попереднім (вісь рахівниці, нитка з намистинками, чи інша наочна інтерпретація натурального ряду чисел та принципу його побудови);

1. Порівняння числа з одиницею та іншими числами (Пр.: 1<3, 3>2, 3=3);

1. Співвіднесення кількості предметів з числом (цифрою) і навпаки (Пр.: за малюнком - справа дві скибки кавуна і зліва дві, між ними записана рівність 2=2, потрібно полічити скибки і прочитати рівність);

2. Вибіркова лічба в межах числа, кількісна і порядкова;

3. Розгляд і написання відповідної цифри, що відбувається поетапно:

- написання цифри на дошці поелементно;

- показ таблиці з фіксуванням напряму руху ручки;

- повторне написання цифри вчителем на дошці;

- написання цифри учнями в повітрі;

- написання цифри учнями за зразком.

У межах вивчення чисел першого десятка ознайомлюємо учнів з по­няттям нуля. Це відбувається на основі відлічування предметів по одному і способом віднімання рівних чисел. Учні повинні усвідомити, що число нуль можна дістати з будь-якого числа, віднявши всі його одиниці, воно менше за всі натуральні числа і в ряді чисел стоїть перед 1.

б) СОТНЯ

Основна мета вивчення нумерації у концентрі "Сотня" полягає у тому, щоб:

- навчити дітей лічити до 100;

- показати як утворюються числа з десятків і одиниць;

- навчити читати і записувати двоцифрові числа на підставі міцного знання того, що одиниці пишуть на першому, а десятки на другому місці рахуючи з права наліво;

Аналізуючи зміст навчального матеріалу, бачимо, що в цей період від­бувається засвоєння нових понять та термінів (одиниці першого і другого розрядів, розрядне число, сума розрядних доданків, одноцифрове число); розрізняють усну і письмову нумерацію; крім того продовжують роботу з формування поняття числа й натуральної послідовності чисел.

В методиці роботи виділяють два ступені: нумерація чисел 11-20 і арифметичні дії над ними; нумерація чисел 21-100 і арифметичні дії над ни­ми. Це зумовлено тим, що, по-перше: назви чисел другого десятка утворю­ються з тих самих слів, що й назви розрядних чисел (20, 30,... 80), проте сло­ва „два", „три", „п 'ять " і т.д. у числівниках деа-надцять, три-надцять по­значають число одиниць, а в числівниках два-дцять, три-дцять - число де­сятків. По-друге: в запису чисел другого десятка порядок називання розряд­них чисел, з яких вони складаються і, і порядок запису не збігаються: спочат­ку називають одиниці (два-на-дцять), а пишуть першим десяток (12), тоді як у всіх інших випадках читання і записування розрядних чисел збігаються.

У цей період основним методом навчання виступає метод вправ.

Основні види вправ з нумерації чисел у концентрі "Сотня": 1. Підготовка до вивчення - повторення матеріалу теми "Десяток".

- лічба предметів з переходом через десяток;

- лічба предметів групами (парами, трійками).

2. Усна нумерація.

- лічба паличок десятків, зв'язування їх у пучки, лічба пучків-десятків,
відлічування пучків-десятків та окремих паличок.

3. Письмова нумерація.

- розкриття помісцевого принципу записування двоцифрових чисел з використанням абаку, нумераційної таблиці, рахівниці.

в) ТИСЯЧА

Мета і завдання вивчення нумерації і арифметичних дій в межах 1000 полягає у тому, щоб:

- навчити лічити предмети в межах 1000 способом прилічування по одному та виконуючи групування предметів у десятки та сотні;

- навчити називати, читати, записувати і порівнювати трицифрові числа;

- сформувати уявлення про утворення цих чисел із сотень, десятків і одиниць, про назви розрядних одиниць, їх співвідношення;

- сформувати уміння записувати число як суму розрядних доданків;

- сформувати уміння знаходити загальне число одиниць будь-якого розряду в окремому трицифровому числі;

- закріплювати знання про натуральну послідовність чисел;

Зміст навчального матеріалу за сучасною методикою вивчають таким чином:

1. Нумерація чисел 101-1000.

"Тисяча'' виділяється окремим концентром через те, що при вивченні трицифрових чисел учні засвоюють якісно нові відомості у галузі нумерації чисел (новий розряд - сотень завершує формування класу одиниць, а далі чи­сла будуть вивчатися не за розрядами а за класами).

На етапі підготовчої роботи слід повторити нумерацію чисел першої сотні, викликати інтерес до вивчення "великих" чисел (на уроці слід назива­ти, демонструвати такі числа, цікавитися у дітей, хто знає числа "далі ста").

При вивченні усної нумерації формуються уявлення про сотню - нову лічильну одиницю. Це досягається шляхом використання окремих паличок, пучків-десятків, пучків-сотень та наочних посібників. У засвоєнні письмової нумерації спираються на вміння записувати двоцифрові числа та наголошу­ють на тому, що сотні, тобто одиниці III розряду, записують на третьому міс­ці, якщо лічити справа наліво.

г) БАГАТОЦИФРОВІ ЧИСЛА

"Багатоцифрові числа" - концентр, який завершує вивчення цілих не­від'ємних чисел, що вивчають у початковій школі.

Загальна ціль засвоєння програмового матеріалу полягає у:

- формуванні уявлень про нову лічильну одиницю - тисячу, як одиницю другого класу;

- навчанні читати і записувати багатоцифрові числа;

- узагальненні знань про нумерацію цілих невід'ємних чисел.

Особливості методики роботи у цьому концентрі полягають у тому, що:

за чинною програмою і підручниками 4 класу реалізується підхід, коли числа вивчаються у порядку нарощування розрядів: чотири-, п'яти-, шестицифрові, а потім уводять поняття „клас"; важливою є робота по закріпленню і систематизації набутих знань, умінь і навичок (проводиться багато уроків повторення, закріплення і систематизації).

Запитання для самоконтролю

1. Назвіть мету і завдання вивчення теми за програмою.

2. Вкажіть особливості змісту навчального матеріалу нумерації цілих невід'ємних чисел.

3. Схарактеризуйте підготовчий (дочисловий) період до вивчення нумерації.

4. Схарактеризуйте методику вивчення нумерації чисел за концентрами:

a. десяток;

b. сотня;

c. тисяча;

d. багатоцифрові числа.

ТЕМА№9-10: МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ АРИФМЕТИЧНИХ ДІЙ У ПОЧАТ­КОВІЙ ШКОЛІ

ЛЕКЦІЯ 11-18

ПЛАН

1. Мета і завдання вивчення теми за програмою.

2. Методика формування конкретного змісту арифметичних дій.

3. Методика вивчення усних прийомів обчислень.

4. Письмові прийоми додавання, віднімання, множення і ділення. (Усні та письмові прийоми додавання та віднімання в межах тисячі).

Література: А:

1. Богданович М., Козак М., Король Я. Методика викладання математики в початкових класах. - Тернопіль.: Навчальна книга - Богдан, 2001, -СІЇ 7-232.

2. Методика начального обучения математике / Под ред. Столяра А.А и ДроздовВ.Л. -Минск: Вьішейшая школа, 1988. -С. 71-157.

Б:

1. Богданович М. В. Методика вивчення нумерації і арифметичних дій в початковій школі. - К.: "Вища школа", 1991. - 208 с.

2. Король Я. А. Практикум з методики викладання математики в початкових класах. - Тернопіль: Мандрівець, 1998. - 1998. - С. 4-67.

3. Богданович М. В. Математика: Підручник для 4 кл. -К.: Освіта, 1998. С. 154-158.

1. Мета і завдання вивчення теми за програмою

Розділ початкового курсу математики "Арифметичні дії над цілими не­від'ємними числами" вивчається паралельно із змістом розділу "Нумерація цілих невід'ємних чисел".

Основна мета вивчення цього розділу програми полягає у формуванні:

- знань про арифметичні дії, назви їх компонентів, зв'язок між діями, відношення "більше", "менше", "більше на", "менше на", "більше в", "менше в", закони та властивості додавання, віднімання;

- знань таблиць додавання, віднімання, множення та ділення, умінь свідомо застосувати їх на практиці;

- умінь виконувати обчислення у позатабличних випадках додавання і віднімання, окремих випадках множення та ділення, пов'язаних з числами 1, 0, 10, розрядними числами та ін.;

- знань алгоритмів письмових прийомів обчислень, навичок їх свідомого застосування.

2. Методика формування конкретного змісту арифметичних дій

Арифметичні дії додавання, віднімання, мнолсення і ділення вивчають в початковій школі протягом чотирьох років навчання, на ознайомлення з кож­ною з них відводиться окремий урок. Арифметичні дії І ступеня вводять у концентрі "Десяток" у 1 класі. Арифметичні дії II ступеня вводять у концент­рі "Сотня" у 2 класі.

Конкретний зміст арифметичних дій розкривається у початковій школі у процесі виконання практичних вправ з елементами предметних множин:

- Об'єднання чисельності множин називають додаванням;

- Вилучення з даної множини її підмножини - відніманням;

- Додавання однакових доданків - множенням;

- Поділ елементів множини на рівні частини - діленням (дія обернена множенню).

Розрізняють три етапи вивчення арифметичних дій:

1. ПІДГОТОВЧИЙ, коли виконують практичні операції з предметними множинами, об'єднуючи чи вилучаючи їх елементи. Наприклад: "Справа - три кружечки, та ще два - зліва, всього маємо 5 кружечків". На цьому етапі широко за­стосовується складання і розв'язування задач за малюнками. Наприклад. "На малюнку бачимо, що на годівниці сиділо 3 пташки, потім до них прилетіли ще 4, всього стало 7 пташок".

2_, ОЗНА ЙОМЛЕННЯ - встановлюються взаємозв'язки між певною опе­рацією та арифметичною дією, вводяться символи: "+", „-", "=", "■", ":", спе­ціальна термінологія: "додати", "доданок", "сума", "відняти", "дія відніман­ня", "помножити", "поділити" і т. д.

3_, ЗАКРІПЛЕННЯ - застосування конкретної арифметичної дії для розв'язування задач і прикладів.

3. Методика вивчення усних прийомів обчислень

Програмою математики початкової школи передбачено засвоєння і за­стосування таких усних прийомів додавання і віднімання чисел в межах 10:

- прилічування, відлічування по 1, що базується на принципі побудови натурального ряду чисел (3+1; 4+2=4+1+1=6).

- додавання і віднімання чисел частинами (групами), що базується на знаннях складу чисел та переставної властивості додавання (2+5= 2+2+3=4+3=7).

Опрацювання цього матеріалу відбувається на основі предметно-практичних дій та роздавального матеріалу переважно в ігровій формі.

Особливої уваги заслуговує методика опрацювання таблиць додавання і віднімання одноцифрових чисел. Ця робота проводиться у концентрі ""Деся­ток" та при вивченні чисел від 11 до 20. її кінцева мета полягає у тому, щоб учень вільно називав результат будь-якого випадку з множини табличних (всього без переходу через десяток налічується 45 випадків на додавання і 45 випадків на віднімання; так само як і з переходом через 10).

Методика вивчення таблиць передбачає проходження таких етапів:

1. Складання таблиці.

2. Запам'ятовування: читання усієї таблиці, витання таблиці від більшого до меншого результату, читання частини таблиці.

3. Відтворення таблиці напам'ять.

4. Застосування таблиці для розв'язування виразів (на одну дію, на дві дії).

Примітка: етапи засвоєння таблиць додавання і віднімання без переходу через десяток, а також' таблиць множення і ділення такі самі. Табличні випадками множення - це випадки множення одноцифрового числа на од-ноцифрове. Табличні випадки ділення грунтуються на табличних випадках множення.

Додавання і віднімання з переходом через 10 (у концентрі 11-20) ґрунту-ється на засвоєнні десяткового складу чисел через порівняння чисел та дода­вання і віднімання виду 10+7; 17—7; 15-10; 12+1; 14-1.

Усне додавання і віднімання без переходу через 10 (у концентрі 21-100) передбачає:

- застосування прийому, що ґрунтується на нумерації чисел (на одну і дві операції): 45-1; 45+1; 18-10; 3+10; 3+60; 30+40; 90-20; 45+1-6; 24- 4+60; 33—3—20; Основою застосування прийому є поняття попереднього і насту­пного числа, розрядний склад числа, склад числа в межах 10, таблиці додавання і віднімання в межах 10.

- застосування прийому порозрядного додавання і віднімання. Його теоретична основа - принципи десяткової системи числення, переставна і сполучна властивості дії додавання, правило віднімання суми від суми.

32 + 53 = □ 56 32 = □

30 + 2________ 50 + 3 50 + 6 30 + 2

30+50=80 2+3=5 80+5=85 50-30=20 6-2=4 20+4=24

- ознайомлення з прийомом послідовного додавання і віднімання.

24 + 73 = и_________________________________________ 89-53 = 2____________

24 +70 = 94 ~ 89 - 50 = 39

94 +3 = 97 39 - 3 = 36

Усне додавання і віднімання з переходом через 10 (у концентрі 21-100) пе редбачає:

- застосування прийому порозрядного додавання.

38 + 56 = 94

_ _30^8 50 + 6__________________________

30+50=80 8+6=14 80+14=94

- ознайомлення з прийомом послідовного додавання.

26 + 67 = 93_______________________

26 +60 = 86 86 +7 = 93

- застосування прийому послідовного віднімання. Він спирається на вміння віднімати одноцифрове число від двоцифрового з переходом через десяток, вміння віднімати від круглих десятків. Обчислення виконують двома способами, з наданням переваги першому.

83-37 = 1 і 83-37=П

83-30 = 53 ' ~ 83-30 = 53

53-7= а 53-7= □

53-3=50 13-7=6

50-4 = 46 40 + 6 = 46

Зміст навчального матеріалу у концентрі "Тисяча" за сучасною мето­дикою вивчають таким чином:

Додавання та віднімання в межах тисячі усно виконується різними прийомами: способом порозрядного додавання чи віднімання, способом по­розрядного додавання чи віднімання, способом переходу до дій над десятка­ми. Ознайомлення з цими прийомами відбувається із застосуванням структу­рних записів, та варто також практикувати метод бесіди із застосуванням прийому аналогії, самостійну роботу з наступною бесідою. Особлива увага приділяється випадкам додавання і віднімання чисел, які містять нулі в кінці, в середині.

Усне множення і ділення передбачає розгляд позатабличних випадків в межах 100 і 1000. Це поєднання доцільне тому, що в обох випадках застосо­вують ті самі прийоми обчислень.

Теоретичним забезпеченням прийомів обчислень виступає ділення чи­сла на добуток, множення суми на число і числа на суму, ділення суми на чи­сло.

Основні методи навчання: метод вправ, бесіда, пояснення.

Розглянемо основні випадки усного множення і ділення

Випадок	Приклад	Спосіб (прийом) або правило
Множення і ділення, пов'язане з числами 1 і 0: 1-а=а 0-а=0 а-1=а а-0=0 а:1=а а:а=1 0:а=0 а:0	1-3=3	Переконуємося на основі додавання одна­кових доданків, що при множенні 1 на будь-яке число у добутку дістаємо число на яке множили 1.
0-5=0	Переконуємося на основі додавання одна­кових доданків, що при множенні 0 на будь-яке число дістаємо 0.
4-1=4	При множенні будь-якого числа на одини­цю у добутку маємо те саме число.
3-0=0	При множенні будь-якого числа на нуль у добутку дістаємо нуль.
8:1=7	Складаємо з прикладу на множення при­клади на ділення:
8:8=1
0:9=0	На основі зв'язку множення і ділення: при діленні нуля на будь-яке число в частці ді­стаємо нуль
8:0 - не можливо ви­конати ділення	Ділити на нуль не можна, бо немає такого числа, при множенні якого на нуль дістали б число, яке ділили.
Множення і ділення, пов'язане з числами 10 і 100	10-5=50 1дес.-3=3дес; 600:6=100 6сот.-6=1сот.	Спосіб переходу до десятка або до сотні.
Множення і ділення розрядних чисел на одноцифрове число	40-2=80 4дес.-2=8дес; 800:4=200 8сот.:4=2сот.	Спосіб переходу до десятків і сотень.
Множення одноциф-рового числа на роз­рядне число	2-30=30-2=60; 2-30=2-3-10=6-10==60	Застосовуємо переставну властивість мно­ження або спосіб послідовного множення.
Ділення виду 80:20, 300:20, 600:300	80:20=80:(10-2)= =(80:10): 2=8:2=4;	Спосіб послідовного ділення та ознайом­лення зі способом випробування.
Множення двоцифрового числа на одноцифрове	47-3= (40+7)-3= =40-3+7-3=120+21=14 1	Правило множення суми на число, щоб помножити суму на число, можна помно­жити на це число кожний доданок і знай­дені добутки додати.
Множення одноциф-рового числа на дво­цифрове	4-56=4-(50/6)= =4-50+4-6=200+24=22 4	Правило множення числа на суму: щоб помножити число на суму, можна помно­жити число на кожний доданок, а здобуті результати додати.
Множення виду 120-3	120-3=(100+20)-3= =100-3+20-3= =300+60=360.	Правило множення суми на число.
Ділення двоцифрово­го числа на одноцифрове	93:3-(90+3):3= 90:3+3:3=30+1=31,	Правило ділення суми на число: щоб поді­лити суму на число можна поділити на це число кожний доданок і знайдені частки додати.
Ділення виду 360:3	360:3= 36дес.:3=12 дес.	Спосіб переходу до ділення десятків.
Ділення двоцифро­вих і трицифрових чисел на двоцифрове число при одноцифровій частці	96:24; 125:25.	Спосіб випробування
Ділення з остачею (табличні випадки)	20:6=3(ост.2).	Якщо дане число не ділиться без остачі, то треба знайти найбільше з усіх менших чи­сел, що ділиться без остачі, і поділити йо­го, здобутий результат буде часткою (не­повною). Різниця між даним і меншим чи­слом, що ділиться становить остачу.

Письмові прийоми додавання, віднімання, множення і ділення

Основна відмінність усного і письмового додавання і віднімання полягає в тому, що усні обчислення починають з вищих розрядів, а письмові - з нижчих. Ознайомлення з письмовими обчисленнями бу­дують на методі пояснення, шляхом формування міцних знань алгори­тму виконання дій.

Наприклад: Знайдемо суму чисел 45 і 38 письмово. Запишемо числа стовпчиком: другий доданок записуємо під першим так, щоб одиниці були під одиницями, а десятки під десятками. Додавати починаємо з одиниць нижчого розряду. До 5 од. додати 8 одиниць, буде 13 од.; 13 - це 1 дес. і З од.; З од. пишемо під одиницями, а десяток додамо до десятків. 4 дес. плюс 3 дес, буде 7 дес. і ще 1 дес, буде 8 дес. Цифру 8 записуємо під десятками. Дістали число 83.

Так само відбувається пояснення письмового віднімання. Наприклад: Знайдемо різницю чисел 85 і 26 письмово. Запишемо числа стовпчи­ком: від'ємник записуємо під зменшуваним так, щоб одиниці були під одиницями, а десятки під десятками. Віднімати починаємо з одиниць нижчого розряду. Від 5 од. Не можна відняти 6 одиниць. Беремо 1 дес. З 59 8 дес 1 дес. і 5 од., буде 15. від числа 15 відняти 6, буде 9. запишемо цифру 9 на місці одиниць. Від 7 дес. відняти 2 дес, буде 5 дес Запишемо цифру 5 на місці десятків. Дістали число 59.

Письмове виконання дій першого ступеня у концентрі "Тисяча" роз­глядають аналізуючи зразки розв'язання у такій послідовності: без переходу через розряд (342+316), з одним переходом через розряд (580-324), з двома переходами через розряд (723-279).

Ознайомлення учнів із письмовим додаванням і відніманням багатоцифрових чисел відбувається шляхом прямого перенесення, тобто методом бесіди із застосуванням прийому аналогії. Спочатку учні пояснюють, як по­трібно записувати числа при письмовому відніманні і додаванні, а потів вчитель повідомляє, що письмове додавання і віднімання багатоцифрових чисел виконують так, само як і в концентрі "Тисяча". Необхідно звернути увагу на коментування обчислення різниці, коли у зменшуваному є кілька нулів (1000-8; 6008-2219).

Письмове множення і ділення в межах тисячі починають опрацьовува­ти на початку 4 класу і процес роботи триває протягом усього року. Дуже важливі знання алгоритмів письмових обчислень та свідоме їх застосування.

Зміст навчального матеріалу вивчають у такій послідовності: множення багатоцифрового числа на одноцифрове число (3158 • 3), множення багатоцифрового числа, що закінчується нулями (46900 • 8), ділення багатоцифро­вого числа на одноцифрове число (2148:4), множення чисел на розрядні чис­ла (6540 • 400),ділення на розрядні числа (294:40), множення на дво- і трицифрові числа (42 • 38; 2057 -301), ділення багатоцифрового числа на двоцифро­ве (752:86; 34568:64).

Вчитель повинен мати на увазі, що процес оволодіння обчислювальни­ми навичками дуже складний, до того ж протягом чотирьох років навчання у початковій школі вивчається значна кількість прийомів обчислень, тому не всі учні відразу їх засвоюють і часто допускають помилки. У цьому разі слід вивчати причини допускання помилок (вони криються як у діяльності вчите­ля так і учнів) застосовувати широкий діапазон методичних прийомів корек­ції.

Запитання для самоконтролю

1. Схарактеризуйте мету і завдання вивчення теми за програмою.

2. Схарактеризуйте методику формування конкретного змісту арифметичних дій.

3. Схарактеризуйте методику вивчення усних прийомів обчислень.

4.Назвіть письмові прийоми додавання, віднімання, множення і ділення. (Усні та письмові прийоми додавання та віднімання в межах тисячі).