Линейные балансовые модели

Представленный тип математических моделей широко применяется в экономико-математических исследованиях и одновременно представляет собой характерный пример тех задач, когда матричное решение СЛАУ является целесообразным и полезным.

Рассматриваемая экономическая система состоит из n взаимосвязанных отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее для данной системы потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов, комплектующих изделий в других отраслях (в том числе и в данной). Эту часть продукции называют производственным, или внутренним потреблением. Поэтому каждая из отраслей выступает и как производящая продукцию (вертикальные столбцы табл. 1) и как ее потребитель (горизонтальные табл. 1).

Таблица 1

Номера отраслей	Потребление	Итого на внутреннее потребление	Конечный продукт	Валовый выпуск
		...		...
Производство				...		...
			...		...
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
			...		...
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
			...		...
				...		...

Обозначим через валовый выпуск продукции -й отрасли за планируемый период, а через - конечный продукт, идущий на внешнее потребление. Совокупность этих значений по всем отраслям условно назовем соответственно валовым вектором, или вектор-планом , и ассортиментным вектором :

.

В этом случае разность векторов определяет часть продукции, идущей на внутреннее потребление. Обозначим через часть продукции -ой отрасли, потребляемой -й отраслью для обеспечения выпуска ее продукции в размере . Все обозначения сведем в табл. 1. Будем в дальнейшем считать, что все названные величины даются не в натуральном, а в стоимостном их выражении.

Образуем следующее векторное тождество, называемое балансовым равенством:

.

(1)

Нами уже отмечалось, что выражение, заключенное в скобки, отражает затраты на внутреннее потребление по всем отраслям. Для каждой отрасли внутренние затраты представляют собой сумму всех элементов соответствующей строки табл. 1. С учетом этого обстоятельства, выражение (1) может быть развернуто по строкам следующим образом:

(2)

Основная задача балансовых исследований состоит в том, чтобы на базе данных об использовании баланса за предшествующий период определить исходные данные на планируемый период.

Будем снабжать верхним штрихом данные, относящиеся к истекшему периоду, т.е. по всем . Все они, как относящиеся к истекшему периоду, считаются известными. Для планируемого же периода заданными считаются координаты ассортиментного вектора . Используя эти известные величины совместно, требуется определить координаты планируемого валового вектора и все составляющие внутреннего потребления . Введем в рассмотрение безразмерные величины , называемые технологическими коэффициентами, или коэффициентами прямых затрат. Они задаются соотношениями:

(3)

и определяют затраты -й отрасли, используемые -й отраслью. В основу возможности решения поставленной балансовой задачи заложено допущение о неизменности технологии на истекшем и планируемом этапах производства во всех отраслях. Это дает основание записать следующие равенства:

.

Отсюда следует

(4)

Подставляя (4) в (2), получаем:

(5)

Все , рассчитанные по формуле (3), могут быть сведены в матрицу размером - так называемую матрицу прямых затрат, или технологическую матрицу:

.

Рассмотрение структуры соотношений (5) показывает, что мы имеем СЛАУ из уравнений относительно неизвестных , т.е. систему . Математически доказано, что для реально существующих значений и система (5) всегда является определенной. С помощью алгебры матриц ей можно придать компактное выражение. В самом деле, в матричном виде систему (5) можно представить так:

, или

.

(6)

Матрица коэффициентов при неизвестных будет иметь вид

.

Для такой матрицы в определенной СЛАУ обратная матрица всегда существует. Обозначим ее через :

.

Тогда решением СЛАУ (6) будет

.

(7)

И далее, используя соотношения (4), можно найти все . Поставленная задача решена. Отметим, что соотношение (7) можно использовать для разных задаваемых .

Пример 1. Рассмотрим простой случай, для , исходные данные по которому за истекший период представлены в табл. 2

Таблица 2

Номера отраслей	Потребление	Итого на внутреннее потребление	Конечный продукт	Валовый выпуск
Производство
Итого затраты на -ю отрасль

По данным этой таблицы подсчитаем коэффициенты прямых затрат:

; ;

; .

Таким образом,

; .

Обратим матрицу :

.

Таким образом, .

Зададимся теперь каким-либо ассортиментным вектором на планируемый период. Пусть, например, .

Тогда

или и . Все совпадут с данными табл. 2.2. Если вектор задать другим, например, , ответ получился бы равным . Все по сравнению с относящимися к ним данным табл. 2.2 будут удвоены и т.д.

Проанализируем теперь полученную матрицу . Ей можно придать вполне определенное экономическое содержание. Представим себе мысленно, что производится только одна единица конечного продукта первой отрасли: .

Подставляя этот вектор в (7), имеем

(первый столбец матрицы ).

Зададимся теперь ассортиментным вектором .

Тогда (второй столбец матрицы ).

Очевидно, что так будет и для последующих столбцов матрицы . Что же из всего этого следует? А то, что для выпуска одной единицы конечной продукции в некоторой -й отрасли необходимо в первой отрасли выпустить , а в -й - единиц продукции. На этом основании матрица , объединяющая все значения , получила название матрицы полных затрат. Сравним содержимое известной нам матрицы прямых затрат с содержимым матрицы . Мы обнаружим, что везде проявляется условие: .

Такое свойство не случайно. Дело в том, что в матрице учтена лишь та часть продукции каждой отрасли, которая потребляется непосредственно -й отраслью. Но ведь необходимо обеспечить замкнутый производственный цикл. Ведь если бы продукция -й отрасли поступала только в -ю отрасль в количестве -й, то производство -ой отрасли все равно не было бы обеспечено - потребовались бы еще продукты первой , второй отраслей и т.д. А они, в свою очередь, не смогут работать, если не будут получать продукцию той же -й отрасли . Все переплетено и взаимоувязано. Так вот, матрица полных затрат опосредовано учитывает все эти взаимосвязи, отчего и получила свое название.

Вычтем теперь матрицу из (в данном случае это возможно, ибо матрицы одинаковой размерности). Получающаяся в результате такого вычисления матрица получила название матрицы косвенных затрат. Она как раз и учитывает те дополнительные затраты по отношению к прямым, которые «набегают» за счет опосредованного (косвенного) влияния отраслей друг на друга:

,

в нашем конкретном примере

.

Таким образом, косвенные затраты по сравнению с прямыми могут оказаться довольно ощутимыми.

Более подробно сведения о балансовых моделях рассматриваются в специальных курсах.

Отметим, что в реальных задачах приходится иметь дело не с тремя отраслями, а с десятками, а то и сотнями. Решение таких задач немыслимо без использования компьютеров и соответствующего программного обеспечения.