Этапы расчёта статически неопределимых систем методом сил

Основные понятия и определения.

Под стержневой системой понимают всякую конструкцию, состоящую из элементов, имеющих форму стержня. Чаще всего это фермы и рамы.

Ферма – стержневая система, в которой отдельные стержни соединены шарнирами. Для ферм характерно приложение сил в узлах.. В стержнях фермы возникают, как правило, лишь продольные силы.

Ферма

В рамах отдельные стержни жёстко соединяются между собой. В стержнях рамы возникают изгибающие и крутящие моменты.

Фермы и рамы бывают статически определимыми и статически определимыми.

Статически определимой (геометрически неизменяемой) системой называется такая, в которой опорные реакции и ВСФ можно определить, используя только уравнения статики. Для обеспечения геометрической неизменяемости нужно наложить на систему число связей n, равное числу степеней свободы m.

Любое тело на плоскости, например стержень АВ, имеет три степени свободы (рис.1, а). Наложив три связи, исключающие возможность этих перемещений, получим геометрически неизменяемую, т.е. статически определимую систему. Связи, обеспечивающие геометрическую неизменяемость, называют необходимыми. Некоторые возможные варианты наложения необходимых связей показаны на рис.1 б, в.

а) б) в)

Рис.1

Если наложить на систему число связей n < m, то получим геометрически изменяемую систему – механизм (рис.2 а,б). Такие системы здесь рассматривать не будем.

а) б)

Рис.2

Часто для повышения прочности и жесткости системы на нее накладывают число связей большее, чем требуется для обеспечения ее геометрической неизменяемости (n > m). В этом случае систему называют статически неопределимой. Связи, наложенные сверх необходимого количества, называют дополнительными ("лишними"). Разность между числом наложенных связей и числом необходимых связей называют степенью статической неопределимости системы s.

s = n - m (1)

Так, например, на рис.3,а изображена дважды статически неопределимая система, а на рис.3,б - трижды статически неопределимая.

а) б)

Рис.3

Различают "внешнюю" и "внутреннюю" статическую неопределимость. Для примера, на рис 4,а изображена система, в которой опорные реакции R_A, H_A, R_B могут быть определены из уравнений равновесия, т.е. внешне она статически определима, а ВСФ в отдельных стержнях системы определить невозможно (рис. 4,б). Поскольку число неизвестных ВСФ равно трём (N, Mx, Q), система трижды внутренне статически неопределима. Значит, замкнутый контур повышает степень статической неопределимости на три.

а) б)

Рис. 4

Постановка шарнира на оси стержня (рис.5,а) обращает в нуль изгибающий момент в данном сечении и, следовательно, снижает степень статической неопределимости на единицу. Такой шарнир называют одиночным. Шарнир, включенный в узел, где сходятся i стержней, снижает степень статической неопределимости на (i - 1), так как заменяет собой (i -1) одиночных шарниров (рис 5,б). Такой шарнир называется общим. Рама, изображённая на рис.5,а, пять раз статически неопределима, а на рис 5,б - четыре раза статически неопределима.

а) б)

Рис. 5

Для определения степени статической неопределимости плоских систем можно пользоваться формулой

s = 3 к – ш,

где: к – число замкнутых контуров при полном отсутствии шарниров;

ш - число шарниров в пересчёте на одиночные.

Основание ("земля") рассматривается как стержень. Так, например, рама, изображённая на pис.6, имеет три замкнутых контура. У каждого шарнира указано соответствующее число одиночных шарниров.

Следовательно: k = 2; ш = 2 + 1 = 3; s = 2.3 – 3 = 3.

Рис.6

Расчет статически неопределимой системы начинается с раскрытия статической неопределимости. Под раскрытием статической неопределимости будем понимать замену статически неопределимой системы эквивалентной ей статически определимой системой. Эквивалентность обеих систем подразумевает равенство в них всех параметров (перемещений, усилий, напряжений). Для раскрытия статической неопределимости применяют метод сил.

Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от лишних связей, а их действие заменяется силами и моментами, величина которых в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в местах их приложения соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. При таком методе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название "метод сил".

Основные этапы расчёта:

1. Устанавливают степень статической неопределимости системы s.

2. Выбирают основную систему. Основная система - это статически определимая система, полученная из статически неопределимой (pис.7, а) путем удаления лишних связей (рис.7, б,в,г).

Лишние связи выбирает расчётчик по желанию. Рациональный выбор основной системы упрощает расчёт.

3. Изображают эквивалентную систему, загружая выбранный вариант основной системы (например рис.7, б), заданными нагрузками и неизвестными усилиями (рис.8).

Рис. 7

4. Составляют уравнения перемещений в количестве s. Условия для них дают удаленные лишние связи. Поскольку до их удаления в заданной системе отсутствовали перемещения в направлении этих связей (линейные и угловые), то перемещения в эквивалентной системе в направлении этих связей также должны быть равны нулю. Поэтому составляют уравнения перемещений от сил Хi и от внешней нагрузки в основной системе и приравнивают их к нулю.

5. Решают эти уравнения и находят неизвестные усилия.

Дальнейший расчет производится так же, как для обычной статически определимой системы.

Рис. 8

Канонические уравнения метода сил

Уравнения перемещений составляют в определённой (канонической) форме (см. например [1, § 92]).

(2)

где Xi - неизвестные усилия (силы и моменты), подлежащие определению;

D ip - перемещение по направлению силы Xi от действия внешней нагрузки;

d ik - единичные перемещения (коэффициенты податливости), которые можно вычислить заранее. Для этого основную систему изображают в двух единичных состояниях под действием сил Xi = 1 и Xk = 1. Затем находят ВСФ на каждом участке и вычисляют d ik по формуле Мора.

d ik = d ki

Это обстоятельство уменьшает объем вычислений при определении коэффициентов канонических уравнений.

Перемещения D ip находят аналогично. При этом основная система изображается в двух состояниях: под действием силы Xi =1 и под действием внешней нагрузки. Используя метод Мора или правило Верещагина, находят величину D ip

После вычисления всех коэффициентов d ik и перемещений D ip можно решить систему канонических уравнений (2) и найти неизвестные усилия Xi. Статическая неопределимость раскрыта. Дальнейшее решение – как для обычной статически определимой системы.

Если заданная система симметрична по конфигурации (рис.9, а), то выгодно выбирать основную систему, разрезая заданную систему по плоскости симметрии (рис.9, в,г). При этом некоторые из коэффициентов d ik обратятся в нуль, что облегчит решение системы уравнений (3.2).

Рис. 9

Например, можно показать, что в симметричной раме при симметричной нагрузке кососимметричные силовые факторы (Qx, Qy, Mк) в плоскости симметрии обращаются в нуль. Аналогично можно показать, что в симметричной раме при кососимметричной нагрузке симметричные силовые факторы обращаются в нуль (рис.10, а,б).

Рис.10

Если внешняя нагрузка произвольная, ее раскладывают на симметричную и кососимметричную, решают две отдельные задачи, а конечный результат получают путём наложения полученных решений (рис.11).

Рис.11