Плоско-радиальное вытеснение нефти водой

Рассмотрим задачу о вытеснении нефти водой в условиях плоско-радиального движения по закону Дарси (рис.4). На контуре питания радиуса R_K давление Р_К = const; на забое скважины радиуса r_С давление Р_С = const; коэффициент проницаемости k = const; толщина пласта h = const. Обозначим: R₀ и r_H - соответственно начальное и текущее положение контура нефтеносности; P_B и P_H - давление в любой точке водоносной и нефтеносной области соответственно; P(t) - давление на границе раздела.

Рис.4

В случае установившегося плоско-радиального движения однородной жидкости распределение давления в потоке и скорость фильтрации описываются следующими уравнениями (1.25) и (1.27):

; (2.19)

. (2.20)

Если изобару, совпадающую в данный момент с контуром нефтеносности, принять за скважину, то распределение давления и скорость фильтрации в водоносной области можно выразить так:

(2.21)   (2.22)

Теперь принимаем изобару, совпадающую с r_H, за контур питания, тогда P_H и V_H можно записать так:

(2.23)     (2.24)

Давление на границе раздела двух жидкостей Р найдем из условия равенства V_B=V_H (при этом r = r_H).Получим:

откуда

(2.25)

Рассмотрим характеристики рассматриваемого плоско-радиального фильтрационного потока нефти и воды.

1) Распределение давления в водоносной и нефтеносной областях находим из (2.21) и (2.23), используя (2.25). Имеем:

(2.26)

. (2.27)

Из формул (9.26) и (9.27) видно, что закон распределения давления в обеих зонах логарифмический. Если знаменатель в (2.26) и (9.27) представить в виде

,

то можно заметить, что при r_Н, уменьшающемся во времени (при стягивании контура нефтеносности), этот знаменатель также уменьшается. Тогда из (2.26) и (2.27) следует, что давление в водоносной части пласта со временем уменьшается, а в нефтеносной - растет.

2) Градиент давления в обеих частях потока найдем, продифференцировав выражения (2.26) и (2.27):

; (2.28)

. (2.29)

Из (2.28) и (2.29) видно, что градиенты давлений как в водоносной, так и в нефтеносной зонах растут во времени (т.к. знаменатель в этих формулах во времени уменьшается).

На границе раздела жидкостей (r = r_Н) градиент давления в водоносной области меньше, чем в нефтеносной во столько раз, во сколько . Это означает, что на границе раздела жидкостей пьезометрическая линия претерпевает излом.

3) Скорости фильтрации жидкостей определим из закона Дарси:

; . (2.30)

Подставив в (2.30) значения градиентов из (2.28) и (2.29), получим:

(2.31)

Из выражений (2.31) видно, что скорости фильтрации как воды, так и нефти растут со временем (знаменатель во времени уменьшается).

4) Дебит скважины Q найдем через скорость фильтрации и площадь сечения пласта .

. (2.32)

При постоянной депрессии дебит скважины увеличивается во времени, т.е. с приближением к ней контура нефтеносности. При формула (2.32) переходит в формулу Дюпюи.

5) Закон движения границы раздела жидкостей найдем из соотношения

,

откуда

.

Интегрируя последнее выражение в пределах от 0 до t и от до , получим:

(2.33)

Время вытеснения всей нефти водой Т найдем, подставив в (2.33) . В результате получим (пренебрегая по сравнению ):

. (2.34)

Задача