Багатовимірні середні інвестиційної привабливості цінних паперів 2 страница

При порівнянні варіації різних ознак або однієї ознаки в різних сукупностях використовуються коефіцієнти варіації V. Вони визначаються відношенням абсолютних іменованих характеристик варіації (, , R) до центра розподілу, найчастіше виражаються у процентах. Значення цих коефіцієнтів залежить від того, яка саме абсолютна характеристика варіації використовується. Отже, маємо коефіцієнти варіації:

лінійний ;

квадратичний ;

осциляції .

Якщо центр розподілу поданий медіаною, то за відносну міру варіації беруть квартильний коефіцієнт варіації

.

Для оцінювання ступеня варіації застосовують також співвідношення децилів. Так, коефіцієнт децильної диференціації показує кратність співвідношення дев’ятого та першого децилів:

.

Необхідні для розрахунку узагальнюючих характеристик варіації величини подано в табл. 5.6 на прикладі розподілу домогосподарств за рівнем забезпеченості житлом. Середня розподілу становить 9 м².

Таблиця 5.6

ДО РОЗРАХУНКУ УЗАГАЛЬНЮЮЧИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВАРІАЦІЇ

xj	fj
		–5
		–3
		–1
Разом		´		´

Згідно з розрахунками:

2,53 м²;

;

м²;

.

Децильний коефіцієнт V_D = 13,3: 5,2 = 2,5 показує, що нижня межа 10% відносно забезпечених житлом домогосподарств в 2,5 раза перевищує верхню межу 10% малозабезпечених домогосподарств.

5.4. Характеристики форми розподілу

Аналіз закономірностей розподілу передбачає оцінювання ступеня однорідності сукупності, асиметрії та ексцесу розподілу.

Однорідність сукупності — передумова використання інших ста­тистичних методів (середніх величин, регресійного аналізу тощо). Однорідними вважаються такі сукупності, елементи яких мають спільні властивості і належать до одного типу, класу. При цьому однорідність означає не повну тотожність властивостей елементів, а лише наявність у них спільного в істотному, головному.

В однорідних сукупностях розподіли одновершинні (одномодальні). Багатовершинність свідчить про неоднорідний склад сукупності, про різнотиповість окремих складових. У такому разі необхідно перегрупувати дані, виокремити однорідні групи. Критерієм однорідності сукупності вважається квадратичний коефіцієнт варіації, який завдяки властивостям в симетричному розподілі становить . Згідно з цим критерієм сукупність домогосподарств за рівнем забезпеченості житлом практично однорідна ().

З-поміж одновершинних розподілів є симетричні та асиметричні (скошені), гостро- та плосковершинні. У симетричному розподілі рівновіддалені від центра значення ознаки мають однакові частоти, в асиметричному — вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена ліворуч, маємо правосторонню асиметрію, і навпаки. Зазначимо, що асиметрія виникає внаслідок обмеженої варіації в одному напрямі або під впливом домінуючої причини розвитку, яка призводить до зміщення центра розподілу. Ступінь асиметрії різний — від помірного до значного.

Як уже зазначалося, у симетричному розподілі характеристики центра — середня, мода, медіана — мають однакові значення, в асиметричному між ними існують певні розбіжності. У разі правосторонньої асиметрії , а в разі лівосторонньої, навпаки, . Чим більша асиметрія, тим більше відхилення (). Очевидно, найпростішою мірою асиметрії є відносне відхилення , яке характеризує напрям і міру скошеності в середині розподілу; при правосторонній асиметрії , при лівосторонній — .

Теоретично коефіцієнт асиметрії не має меж, проте на практиці його значення не буває надто великим і в помірно скісних розподілах не перевищує одиниці. Так, за даними ряду розподілу (див. табл. 5.4) середній рівень забезпеченості населення житлом становить 9 м², мода дорівнює 8,1, . Міра скошеності свідчить про помірну правосторонню асиметрію розподілу. Такого самого висновку можна дійти на основі співвідношення середнього квадратичного та середнього лінійного відхилень: .

Іншою властивістю одновершинних розподілів є ступінь зосередженості елементів сукупності навколо центра розподілу. Цю властивість називають ексцесом розподілу.

Асиметрія та ексцес — дві пов’язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексне їх оцінювання виконується на базі центральних моментів розподілу. Алгебраїчно центральний момент розподілу — це середня арифметична k -го ступеня відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої:

.

Очевидно, що момент 2-го порядку є дисперсією, яка характеризує варіацію. Моменти 3-го і 4-го порядків характеризують відповідно асиметрію та ексцес. У симетричному розподілі . Чим більша скошеність ряду, тим більше значення . Для того щоб характеристика скошеності не залежала від масштабу вимірювання ознаки, для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів використовується стандартизований момент , який на відміну від коефіцієнта скошеності залежить від крайніх значень ознаки. При правосторонній асиметрії коефіцієнт , при лівосторонній . Звідси правостороння асиметрія називається додатною, а лівостороння — від’ємною. Уважається, що при асиметрія низька, якщо не перевищує 0,5 — середня, при — висока.

Для вимірювання ексцесу використовується стандартизований момент 4-го порядку . У симетричному, близькому до нормального розподілі . Очевидно, при гостровершинному розподілі , при плосковершинному .

Аналіз закономірностей розподілу можна поглибити, описати його певною функцією.

Не менш важливими у статистичному аналізі є характеристика нерівномірності розподілу певної ознаки між окремими складовими сукупності, а також оцінка концентрації значень ознаки в окремих її частинах (наприклад, розподіл майна чи доходів між окремими групами населення, кількості зайнятих між окремими галузями промисловості, площі сільськогосподарських угідь між окремими агрогосподарствами).

Так, наведені в табл. 5.8 дані про розподіл промислових підприємств регіону за вартістю основних виробничих фондів і за обсягами спожитої електроенергії свідчать про нерівномірне споживання електроенергії. До першої групи належить 20% підприємств, а частка спожитої електроенергії становить 4%. Натомість шоста група містить 3% підприємств, які споживають 46% електроенергії. На відхиленнях часток двох розподілів — за кількістю елементів сукупності d_j і обсягом значень ознаки D_j — ґрунтується оцінювання концентрації.

Таблиця 5.8

ДО РОЗРАХУНКУ КОЕФІЦІЄНТА КОНЦЕНТРАЦІЇ

Вартість основних виробничих фондів, грн.	У % до підсумку	Модуль відхилення часток
Кількість підприємств dj	Спожито електроенергії Dj
До 5			0,16
5 — 10			0,33
10 — 20			0,14
20 — 50			0,01
50 — 100			0,21
100 і більше			0,43
Разом			1,28

Якщо розподіл значень ознаки в сукупності рівномірний, то частки однакові — , відхилення часток свідчать про певну концентрацію. Верхня межа суми відхилень , а тому коефіцієнт концентрації обчислюється як півсума модулів відхилень:

.

Значення коефіцієнта коливаються в межах від нуля (рівномірний розподіл) до одиниці (повна концентрація). Чим більший ступінь концентрації, тим більше значення коефіцієнта K. У нашому прикладі K = 1,28: 2 = 0,64, що свідчить про високий ступінь концентрації споживання електроенергії у промисловості регіону.

Коефіцієнти концентрації широко використовуються в регіональному аналізі для оцінювання рівномірності територіального розподілу виробничих потужностей, фінансових ресурсів тощо. За кожним регіоном визначається також коефіцієнт локалізації

,

який характеризує співвідношення часток.

За даними табл. 5.9 коефіцієнти локалізації свідчать про нерів­номірність купівлі (продажу) на душу населення і певною мірою про варіацію життєвого рівня населення різних регіонів.

Таблиця 5.9

КОЕФІЦІЄНТИ ТЕРИТОРІАЛЬНОЇ ЛОКАЛІЗАЦІЇ

Регіон	У % до підсумку	Коефіцієнти локалізації L j, %
Чисельність населення dj	Обсяг товарообороту Dj
А
В
С
Разом			*

Порівняння структур на основі відхилень часток доцільне в рядах з нерівними інтервалами, а надто в атрибутивних рядах.

За аналогією з коефіцієнтом концентрації обчислюється коефіцієнт подібності (схожості) структур двох сукупностей:

.

Якщо структури однакові, Р = 1; якщо абсолютно протилежні, Р = 0. Чим більше схожі структури, тим більше значення Р. За наведеними у табл. 5.10 даними про галузеву структуру зайнятості населення у двох країнах коефіцієнт подібності структур становить:

,

тобто розподіл зайнятих за галузями економіки відхиляється в середньому на 18 п. п.

Таблиця 5.10

ГАЛУЗЕВА СТРУКТУРА ЗАЙНЯТОСТІ НАСЕЛЕННЯ

Країна	Структура зайнятих, %
Сільське господарство	Промисловість та будівництво	Сфера послуг
А
В

Структура будь-якої статистичної сукупності динамічна. Змінюються склад і технічний рівень виробничих фондів, вікова й професійна структура робітників, склад і якість залучених до виробництва природних ресурсів, асортимент і якість продукції, що виробляється, структура споживчого бюджету тощо. Зміна часток окремих складових сукупності свідчить про структурні зрушення. Так, за даними табл. 5.11 структура спожитого в регіоні палива (у перерахунку на умовне) змінилася: зменшились частки газу та мазуту, зросли частки вугілля та інших видів палива. Інтенсивність структурних зрушень оцінюється за допомогою середнього лінійного або середнього квадратичного відхилень часток:

;

,

де d_{j 0} та d_{j 1} — частки відповідно базисного та поточного періоду; m — число складових сукупності.

Таблиця 5.11

СТРУКТУРА ТА СТРУКТУРНІ ЗРУШЕННЯ
СПОЖИВАННЯ ПАЛИВА ПО РОКАХ

Вид палива	1995 р., d 0	2000 р., d 1	Відхилення часток, d 1 – d 0	Модулі відхилень,	Квадрати відхилень,
Вугілля
Газ			– 7
Мазут			– 9
Інші види			+ 3
Разом

Лінійний коефіцієнт структурних зрушень становить , тобто частки окремих видів палива змінилися в середньому на 8 п. п. Завдяки своїм математичним властивостям квадратичний коефіцієнт структурних зрушень дещо більший — п. п.

5.5. Види та взаємозв’язок дисперсій

Дисперсія посідає особливе місце у статистичному аналізі соціально-економічних явищ. На відміну від інших характеристик варіації завдяки своїм математичним властивостям вона є невіддільним і важливим елементом інших статистичних методів, зокрема дисперсійного аналізу.

Для ознак метричної шкали дисперсія — це середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої:

.

Як і будь-яка середня, дисперсія має певні математичні властивості. Сформулюємо найважливіші з них.

1. Якщо всі значення варіант x_j зменшити на сталу величину А, то дисперсія не зміниться:

.

2. Якщо всі значення варіант x_j змінити в А раз, то дисперсія зміниться в A ² раз:

.

3. Якщо частоти замінити частками, дисперсія не зміниться.

Нескладними алгебраїчними перетвореннями можна довести, що дисперсія — це різниця квадратів . Якщо

,

то, замінивши і поділивши всі складові на n, дістанемо:

,

де — квадрат середньої величини; — середній квадрат значень ознаки.

Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток: , де — частка елементів сукупності, яким властива ознака, — частка решти елементів . Застосуємо основну формулу дисперсії до цих характеристик структури:

Якщо, скажімо, у збиральному цеху частка висококваліфікованих робітників становить , то дисперсія частки .

Дисперсія альтернативної ознаки широко використовується при проектуванні вибіркових обстежень, обробці даних соціологічних опитувань, статистичному контролі якості продукції тощо. За відсутності первинних даних про розподіл сукупності припускають, що і використовують максимальне значення дисперсії (див. підрозд. 6.4).

Якщо сукупність розбито на групи за певною ознакою х, то для будь-якої іншої ознаки у можна обчислити дисперсію як у цілому по сукупності, так і в кожній групі. Центром розподілу сукупності в цілому є загальна середня , центром розподілу в j -й групі — групова середня . Відхилення індивідуальних значень ознаки у від загальної середньої можна подати як дві складові: . Узагальнюючими характеристиками цих вiдхилень є дисперсії: загальна, групова та міжгрупова.

Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки у навколо загальної середньої:

.

Групова дисперсія характеризує варіацію відносно групової середньої:

.

Оскільки в групи об’єднуються певною мірою схожі елементи сукупності, то варіація в групах, як правило, менша, ніж у цілому по сукупності. Якщо причинні комплекси, що формують варіацію в різних групах, неоднакові, то й групові дисперсії різняться між собою.

Узагальнюючою мірою внутрішньогрупової варіації є середня з групових дисперсій:

.

Різними є й групові середні . Мірою варіації їх навколо загальної середньої є міжгрупова дисперсія

.

Отже, загальна дисперсія складається з двох частин. Перша характеризує внутрішньогрупову, друга — міжгрупову варіацію.

Взаємозв’язок дисперсій називається правилом розкладання (декомпозиції) варіації:

.

Розглянемо розрахунок зазначених дисперсій на прикладі варіації якості твердого сиру у залежно від терміну його зберігання х. Результати вибіркового обстеження якості 20 партій сиру, розподіл їх за терміном зберігання (1, 2, 3 місяці), розрахунки середніх та дисперсій наведено в табл. 5.13. Згідно з даними таблиці маємо:

1) середній бал якості сиру (за 10-бальною шкалою)

;

2) загальна дисперсія балів якості

;

3) групові середні бали якості та групові дисперсії:

;	;
;	;
;	.

Таблиця 5.13

РОЗРАХУНОК ЗАГАЛЬНОЇ ТА ГРУПОВИХ ДИСПЕРСІЙ ЯКОСТІ СИРУ

№ з/п	Термін зберігання х, міс.	Бал якості, y	Розрахунок дисперсій якості
загальної	групових
1-ша група	2-га група	3-тя група
у		у		у
		7,3	0,01			7,3	0,01
		8,8	1,96	8,8	0,01
		8,4	1,00	8,4	0,09
		6,5	0,81					6,5	0,36
		7,5	0,01			7,5	0,09
		6,4	1,00					6,4	0,25
		9,1	2,89	9,1	0,16
		8,6	1,44	8,6	0,01
		5,7	2,89					5,7	0,04
		6,8	0,36			6,8	0,16
		7,7	0,09			7,7	0,25
		5,6	3,24					5,6	0,09
		8,9	2,25	8,9	0,04
		7,8	0,16			7,8	0,36
		5,3	4,41					5,3	0,36
		8,5	1,21	8,5	0,04
		6,8	0,36			6,8	0,16
		7,1	0,09			7,1	0,01
		8,6	1,44	8,6	0,01
		6,6	0,64			6,6	0,36
Разом	—	148,0	26,26	60,9	0,36	57,6	1,4	29,5	1,1
Середня	—	7,4	—	8,7	—	7,2	—	5,9	—
Дисперсія	—	—	1,313	—	0,051	—	0,175	—	0,220

Значення групових середніх підтверджують залежність якості сиру від терміну його зберігання. У 1-й групі середній бал якості становить 8,7, у 2-й групі якість сиру знижується на 1,5 бала, а в 3-й зниження якості порівняно з першою групою становить 2,8 бала. Водночас зростає варіація балів у групах, що відбиває посилення впливу інших чинників на якість сиру.