Другие виды зацепления 6 страница

Наконец, если система xhz получена из системы координат x,y,z поворотом в положительном направлении на угол φ вокруг оси oz, для матрицы соответствующего оператора преобразования координат Z имеем

8.7. Кинематика манипулятора

Манипулятор представляет физический аналог системы, в которой происходит многократное, последовательное преобразование пространств, связанных со звеньями манипулятора, в неподвижное рабочее пространство. Поэтому исследование его кинематики будет сводиться к разбиению всей системы на пары пространств и к последовательному применению соответствующих этим преобразованиям кинематических соотношений. Рассмотрим вначале эти соотношения.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки при совмещении начала связанной с телом координатной системы xhz с неподвижной точкой тела задается при помощи оператора преобразования координат (он же оператор поворота)

R = t r. (8.7)

Найдем вектор скорости некоторой точки М этого тела в неподвижном пространстве. Для этого продифференцируем по времени записанное выше соотношение. После дифференцирования и некоторых последующих преобразований получим

V = W R,

где W - кососимметрическая матрица вида

Матрица W сформирована на основе компонентов вектора угловой скорости w = [ w_x, w_y, w_z ].

После дифференцирования уравнения для скорости получим формулу для ускорения точки М:

a=(E + W²) R,

где E – кососимметрическая матрица, составленная из компонентов вектора углового ускорения ε = [ ε_x,ε_y,ε_z ] по той же схеме, что и приведенная выше матрица W.

Рассмотрим общий случай движения твердого тела, который задается векторным равенством

R = R_A + t r, (8.8)

где R_A - радиус-вектор полюса связанной системы осей (рис.8.15).

Дифференцируя это равенство по времени, получим выражение для скорости точки М, принадлежащей твердому телу:

V = V_A + W (R – R_A), (8.9)

где V_A - скорость полюса - точки А. Матрица W характеризует вращательное движение тела.

Рис. 8.15. Общий случай движения твердого тела

Дифференцируя полученную формулу еще раз по времени, получим выражение для ускорения:

a=a_A+E(R-R_A)+W²(R-R_A), (8.10)

где E кососимметричная матрица, составленная также как матрица W, но из компонентов углового ускорения вращательного движения твердого тела.

Заметим, что в записанных выше формулах фигурируют векторы абсолютной скорости и абсолютного ускорения тела, т.е. скорости и ускорения относительно неподвижной системы координат. Для определения этих векторов в случае исследования движения манипуляторов нужно уметь определять их значения по известным параметрам относительного вращательного движения, т.е. по параметрам движения в шарнирах манипулятора.

Рассмотрим операции сложения угловых скоростей и угловых ускорений в векторно- матричной формулировке.

Пусть I - координатное пространство, соответствующее координатной системе, жестко связанной с твердым телом (рис.8.16). Предположим, что задано еще одно подвижное пространство I₁. Наконец Е - неподвижное пространство.

Пусть задано вращение твердого тела относительно пространства I₁, а также движение пространства I₁ относительно неподвижного пространства E. В таком случае, как известно из теоретической механики, угловая скорость абсолютного движения твердого тела равна сумме угловых скоростей первого и второго относительного движения. Векторы относительных скоростей первого и второго движения должны быть приведены к неподвижному пространству:

w= W₁ + W₂ . (8.11)

где Ω ₁ и Ω₂ – векторы относительнойскорости первого и второго движения, приведенные к неподвижному пространству.

Для абсолютного ускорения получено выражение

ε = E₁ + E₂ + W₁ Ω₂, (8.12)

где Е ₁ и Е ₂ - векторы относительного углового ускорения первого и второго движения, приведенные к неподвижному пространству; W ₁ – кососимметрическая матрица угловой скорости первого движения; W ₂ – вектор относительной угловой скорости второго движения. Векторы угловой скорости также приведены к неподвижному пространству.

Рис. 8.16. Сложение поворотов твердого тела

Из последней формулы следует, что если первое и второе вращения равномерны, движение относительно неподвижного пространства не будет равномерным движением, за исключением случае, когда векторы угловой скорости первого и второго движений параллельны. (В этом, в сущности, состоит объяснение гироскопического эффекта.)

Задача сложения поворотов возникает при анализе движения манипуляторов с шарнирным соединением звеньев руки. Такие манипуляторы имеют наибольшее распространение, несмотря на некоторое усложнение управления ими. Биологическим примером манипулятора с большим числом шарнирных соединений служит рука человека.

Приведенные выше формулы имеют универсальное применение во всех задачах механики сложного движения. В теоретической механике они обычно приводятся в несколько другой форме записи.

Матричная форма записи удобна тем, что она вносит ясность и единообразие при решении таких сложных задач как математическое описание механики сложного движения.

Единообразное представление важно с точки зрения организации вычислений при решении задач управления манипулятором. Перемножение матриц осуществляется по известному алгоритму. Прежде всего это имеет место при решении прямой задачи кинематики манипулятора, на базе которой строятся многие алгоритмы управления.

Прямая задача кинематики манипулятора состоит в следующем. Пусть задана схема шарнирного манипулятора (рис. 8.17), его обобщенные координаты, а также угловые скорости и ускорения в шарнирах. Требуется определить координаты, скорости и ускорения звеньев и характерных точек манипулятора.

Рис. 8.17. Системы координат шестизвенного манипулятора

Введем связанные со звеньями системы координат, как показано на рис. 8.17.

Зная обобщенные координаты звеньев, можно сформировать матрицы элементарных поворотов и затем перемножить их согласно выражению (8.3).

Для последнего звена шестизвенного манипулятора – схвата матрица ориентации получается из общего выражения для матрицы ориентации

τ₆=T₁T₂T₃T₄T₅T₆,

T_i – матрицы элементарных поворотов.

Для конкретной схемы манипулятора, представленной на рис. 8.17, с учетом вида матриц элементарных поворотов матрица ориентации последнего звена имеет вид