Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
На практике вместо дисперсии истинной ошибки se 2, значение которой не известно, используется ее оценка, рассчитываемая на основе фактических значений ошибки еt согласно следующей формулы (см. (1.32), (2.19)):
Обоснованность такой замены можно подтвердить, показав, что M [ se 2]= se 2, т. е. математическое ожидание дисперсии фактической ошибки, определенной на основании известных оценок МНК параметров эконометрической модели, равно дисперсии ее “истинной” ошибки.
Заметим, что векторы значений фактической и “истинной” ошибки связаны следующим соотношением:
e = у – Х × a = Х × a + e – Х ×[(Х ¢ Х)–1× Х ¢×(Х × a + e)]=
= e – Х ×(Х ¢ Х)–1× Х ¢× e =[ E T – Х ×(Х ¢ Х)–1× Х ¢]× e = G × e, (2.57)
где E T – единичная матрица размера Т ´ Т и G = E T – Х ×(Х ¢ Х)–1× Х ¢– симметрическая полуопределенная идемпотентная матрица, обладающая согласно ее определению следующим свойством*:
G k = G, k =2, 3,... (2.58)
Из (2.57) следует, что расчетные значения фактической ошибки еt линейной эконометрической модели могут быть выражены в виде линейных комбинаций неизвестных значений истинной ошибки et. В этом случае сумму квадратов значений фактической ошибки можно представить в следующем виде:
(e ¢ e)= e ¢ G ¢ Ge = e ¢ Ge. (2.59)
При выводе выражения (2.59) учтено, что G – симметрическая идемпотентная матрица.
Найдем математическое ожидание левой и правой частей выражения (2.59).
M [ e ¢ e ]= M [ e ¢ Ge ]=
tr(G), (2.60)
где tr(G)= – след матрицы G, представляющий собой сумму ее диагональных элементов (сумму элементов главной диагонали); = se 2 – дисперсия “истинной” ошибки модели.
При выводе выражения (2.60) также учтено, что M [ et × ej ]=0, если t ¹ j в силу независимости разновременных значений ошибки et.
След матрицы G может быть определен с учетом свойств этой характеристики. В связи с этим напомним, что:
а) след арифметической суммы матриц равен сумме следов каждой из них
tr(G)= tr(E T)– tr[ Х ×(Х ¢ Х)–1× Х ¢]; (2.61)
б) следы произведений матриц AB и BA равны между собой, естественно при условии, что оба произведения AB и BA матриц A и B существуют.
Тогда, учитывая, что матрица Х ¢ Х имеет размер (п +1)´(п +1), получим
tr[ Х ×(Х ¢ Х)–1× Х ¢]=tr[(Х ¢ Х)–1× Х ¢ Х ]=tr E п +1, (2.62)
где E п +1 – единичная матрица размера (п +1)´(п +1).
Поскольку в силу формы единичных матриц tr E T = Т и tr E п +1= п +1, то из выражения (2.60) вытекает, что несмещенная оценка дисперсии истинной ошибки модели se 2 определяется на основании следующего выражения:
Дата публикования: 2014-10-25; Прочитано: 388 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!