Пропорции

Леонардо да Винчи. Пропорциональный канон

Многовековой опыт искусства, в котором прочно утвердились такие категории, как «целостность», «единство», «гармоничность», может быть перенесен и на характеристики произведений, о которых мы говорим: целостное произведение, композиционное единство, гармоничная композиция. Законы, по которым создаются такого рода произведения искусства, принято называть законами гармонии. К ним относятся закон равновесия, закон единства и соподчинения. Однако и без художественных средств, помогающих создавать композиции по законам гармонии, не обойтись. К их числу, как вы уже знаете, относятся ритм, контраст, нюанс, тождество, а также пропорции и масштаб. Это основные средства гармонизации. Композиций, созданных без их участия, просто не существует. Напомним, что во времена Гомера гармониями называли скрепы, соединяющие доски в обшивке корабля. Лишенный гармоний корабль распадался на отдельные доски.

Обратим внимание на одно из важнейших средств гармонизации – пропорции (связи частей и целого). Продолжая тему единства целостного произведения, мы утверждаем, что пропорции и есть именно то средство, в основе которого заложена идея соотношения целого и составляющих это целое частей. Под пропорцией понимается отношение частей целого между собой и этим целым.

В эпоху Ренессанса среднепропорциональное отношение называли Божественной пропорцией. Леонардо да Винчи, занимаясь системами пропорционирования, дает ей название «золотое сечение».

Построим отрезки в пропорциях золотого сечения. В прямоугольнике с соотношением сторон 1:2 проводится диагональ, на которую поворотом накладывается меньшая сторона. Остаток диагонали поворачивается вокруг вершины прямоугольника до совмещения с положением верхнего основания. Таким образом, верхнее основание поделилось на два неравных отрезка в пропорции золотого сечения.

a/b = b/(a+b) = 0.618 = const

Если с = 1, то b = 0,618, а = 0,382;

если b = 1, то с = 1,618, а = 0,618;

если а = 1, то b = 1,618, с = 2,618.

Вот как древние ученые понимали пропорцию: «Две части или две величины не могут быть связаны между собой без посредства третьей… Достигается это… пропорцией (аналогией), в которой из трех чисел… среднее так относится ко второму, как первое к среднему, а такясе второе к среднему, как среднее к первому».

Стоит отметить особую роль среднего пропорционального. Оно содержит в себе качественное обобщение, так как выражается одним числом, а не множеством. Вот почему пропорции так существенны в выражении гармонии.

Основные пропорции:

1) арифметическая а – х = х – Ь, г

де среднее арифметическое

x= (а + b)/ 2;

2) геометрическая a/x = x/b,

где среднее геометрическое х = корень квадратный из ab;

3) гармоническая (a-x)/(x-b) = a/b,

где среднее гармоническое х находится по формуле 1/x = 1/2(1/a+1/b);

4) золотое сечение – это деление целого на две неравные части так, чтобы целое относилось к большей, как большая к меньшей: (а + b)/a = a/b = (кв. корень из 5 + 1)/2 = 1,618 = Ф (число Фибоначчи),

где Ф в степени -1 = 0,618, Ф + 1 = Ф в квадрате.

Построим квадрат. Рассечем его пополам вдоль вертикали на две равные части и получим два полуквадрата – два прямоугольника с отношением сторон 1:2. Разделим его пополам, на этот раз по диагонали. Это действие повлекло за собой развитие новых качеств: неравенство углов и несоразмерность отрезков. Появились числа корень из 2 и корень из 5. Диагональ полуквадрата (колрень из 5) и есть отношение золотого сечения Ф: сторона 2 есть среднее между диагональю корень из 5, увеличенной на сторону 1, и этой же диагональю, уменьшенной на сторону 1.

(корень из 5 -1)/2 = 2/(корень из 5 – 1) = 1,61803398875… = Ф

Золотое сечение (Божественная пропорция) объединяет элементы целого (прямой угол и расстояние между вершинами 1, 2 и корень из 5) в целое – двойной квадрат.

Свойство аддитивности линейного ряда золотого сечения состоит в том, что каждый отрезок равен сумме или разности двух смежных отрезков.

С открытием в 1202 году ряда Фибоначчи было обнаружено основное свойство золотого сечения – единство аддитивности и мультика- тивности. Это и есть суть золотого сечения. В нем ключ к явлению формообразования, открыто лежащий на поверхности математического знания. Но чтобы увидеть эту особенность, потребовалось сначала обнаружить механизм формообразования индуктивным путем.

В математике понятие «аддитивность» означает, что в числовом ряду Ф1; Ф2, Ф3, Ф4 … Фn-1, Фn каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Причем за начало такого ряда можно принять любые два числа, например 0 и 1, 1 и 3 или 1 и 4 и т. д.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610…

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207… 1, 4, 5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, 157, 254, 411, 665, 1076, 1741, 2817…

Мультипликативность означает, что в числовом ряду Ф1, Ф2, Ф3, Ф4 … Фn-1, Фn все члены ряда связаны в геометрическую прогрессию: Ф1: Ф2 = Ф2: Ф3 = Ф3: Ф4 =…= Фn-1: Фn = const.

Число золотого сечения, соединяющее свойства аддитивности и мультипликативности, находится как общий корень двух уравнений:

а + b = с (аддитивность)

а: b = b: с (мультипликативность),

в которых целое «с» представлено состоящим из двух частей а + Ь. Отношение золотого сечения – широко распространенная закономерность организации живой природы, которая за единством аддитивности и мультипликативности скрывает глобальный принцип построения мироздания.

Понятие аддитивности свидетельствует о том, что целое структурно… Понятие мультипликативности означает, что на все части структурно организованного целого распространяется одна и та же закономерность роста.

Например, в природе золотое сечение распространено очень широко – как числовая характеристика членения стеблей растений, их расположения на стволе, закручивания спиралей подсолнечника, описание пропорций человеческого тела, строения раковины, яйца, яблока и т. д.

Поликлет. Дорифор. V в. до н. э.

Певучесть скрипки, красота ее голоса находится в прямой зависимости от того, в какой мере форма инструмента согласована с пропорцией золотого сечения. Анализ музыкальных произведений в диапазоне от Баха до Шостаковича продемонстрировал метрические отношения основных разделов музыкальных форм, а также золотое сечение. Таким образом, законы гармонии обнаруясены в музыкальных рядах, в таблице Менделеева, в расстояниях между планетами, в микро- и макрокосмосе, во многих областях науки. Скульптура, архитектура, астрономия, биология, техника, психология и т. д. – везде так или иначе проявляет себя золотое сечение.

Обратимся к истории. Теперь нам точно известно, что автор одиннадцати деревянных досок – панелей из склепа древнеегипетского зодчего Хеси-Ра (XVIII в. до н. э., Древнее царство) – виртуозно применял не только законы золотого сечения, но и был знаком с общекосмическим феноменом гармонии. Он также проиллюстрировал правило золотого сечения во всевозможных вариациях и дал практические советы по его использованию в творчестве.

Сегодня невозможно с абсолютной достоверностью определить, когда и как понятие золотого сечения было выделено человеком из интуитивной и опытной категории.

Рассмотрим скульптуру Поликлета «Дорифор», вплоть до мельчайших деталей построенную в пропорции золотого сечения. Канон Поликлета был известен еще в Древнем Египте. Именно там его познал Пифагор, а затем передал свои знания ученикам. Как известно, Поликлет был выходцем из школы Пифагора. Судя по всему, Поликлет не был посвящен во все таинства канона. Приняв систему членения только как описывающую физические, внешние данные человека, он допустил ошибку. В результате голова его скульптур несколько массивна, тяжеловесна. Позднее Лисипп пересмотрел ограничения канона и более творчески подошел к нему.

Из всего ряда древних канонов, включая современный канон Ле Корбюзье, только канон древних египтян носит абстрактный характер: в нем нет человеческого изображения. Однако в нем закодированы ритмы мужского и женского тела. Поисками канона, дающего гармонию, занимались многие художники, скульпторы, архитекторы. Они создавали так называемые «модулёры», в основу которых были заложены найденные ими системы пропорционирования.

Доска-панель из склепа Хеси-Ра. Древнее царство. XVIII в. до н. э. [10]

Остановимся на достижении XX века – «модулёре» Ле Корбюзье, созданном для применения как в плоскостных композициях (в том числе, в графических работах), так и для создания объемных и объемно-пространственных композиций. Ле Корбюзье так определил для себя необходимость решения этой проблемы: «Если бы инструмент для линейных и оптических измерений, подобный музыкальной записи, был бы найден, то насколько легче было бы работать в архитектуре!

В современном машинизированном обществе, где оборудование с каждым днем совершенствуется для блага человека, создание гаммы визуальных измерений вполне уместно. Новый инструмент пропорционирования архитектурных форм явится основным средством объединения и сочетания человеческого труда, разобщенного – я бы сказал, разорванного – в наши дни двух трудно примиримых между собой систем: англосаксонской фут-дюйм, с одной стороны, и метрической с другой» [11].

Ле Корбюзье не удовлетворился разновидностью системы Фибоначчи и сформулировал характеристику своего «модулёра»: «Модулёр – мерило, основанное на сочетании математики и человеческого масштаба; оно состоит из двух рядов числовых величин – красного и синего ряда. Можно ли ограничиться одной только числовой таблицей? Нет.

И мне вновь хочется пояснить весь комплекс идей, положенных

в основу изобретения. Метр – это всего только условная, абстрактная величина; сантиметр, дециметр, метр – это всего только наименования, принятые в десятичной системе… Числовые величины модулёра – это размеры конкретные, обладающие материальностью, они представляют собой результат выбора из бесконечного множества величин. Эти меры – величины числовые и обладают всеми свойствами чисел…» «…Сущность изобретения была выражена с редкой простотой: «модулёр» – это средство измерения, основой которого являются рост человека и математика. Человек с поднятой рукой дает нам точки, определяющие занятое пространство – нога, солнечное сплетение, голова, кончик пальцев поднятой руки – три интервала, обуславливающие серию золотого сечения, называемую рядом Фибоначчи. С другой стороны, математика предлагает здесь некоторое изменение, очень простое и в то же время весьма существенное: простой квадрат, удвоение и два золотых сечения. Сочетания, полученные в результате использования «модулёра», оказались беспредельными» [12].

Модулёр выдержал довольно длительный срок проверки и был оценен положительно во всем мире. Архитекторы повсюду признали, что это не загадка, а инструмент, который можно вложить в руки тем, кто конструирует формы для простой цели.

1* Шевелев И. III., Марутаев M. А., Шмелев И. П. Золотое сечение. М., 1990. С. 326

2* Ле Корбюзье. Архитектура XX века. M., 1970. С. 234.

3* Ле Корбюзье. Архитектура XX века. М.; 1970. С. 250.

Ле Корбюзье. Модулёр. 1947

Вот вкратце основные позиции модулёра:

«1. Наша решетка дает три размера: 113, 70, 43 (в сантиметрах), которые согласуются с Ф (золотое сечение) и рядом Фибоначчи: 43 + 70 = 113 или 113 – 70 = 43. В сумме они дают: 113 + 70 = 183, 113 + 70 + 43 = 226.

2. Эти три размера – 113, 183, 226 – определяют величину пространства, занимаемого человеком шести футов.

3. Размер 113 определяет золотое сечение 70, показывая начало первой, красной, серии 4 – 6 – 10 – 16 – 27 – 43 – 70 – 113 – 183 – 226 и т. д… До сих пор стоящий человек служил определению трех, а не четырех решающих значений модулёра, а именно:

113 – солнечное сплетение;

182 – вершина головы;

226 – конец пальцев поднятой руки.

Второе отношение Ф, 140 – 86, вводит четвертую существенную точку фигуры человека – точку опоры опущенной руки: 86 сантиметров. Таким образом, если человек, у которого левая рука поднята, непринужденно опустит правую руку, то она даст отметку 86. В результате мы получаем четыре точки, определяющие с помощью фигуры человека занимаемое им пространство. Размер 226 (2 х 113 – удвоение) определяет золотое сечение 140 – 86, показывая начало второй, голубой, серии: 13 – 20,3 – 33 – 53 – 86 – 140 – 226 – 366 – 592 и т. д.

4. Из этих значений и размеров отметим те, которые определенно связаны с ростом человека…» [13].

Ле Корбюзье советовал каждому работающему в композиции (начиная от создания любой утилитарной вещи и до возведения архитектурных сооружений) сделать линейку по его системе пропорционирования, ощутить ее в натуре и работать с ней. Но в то же время он всячески подчеркивал творческий подход в работе с модулёром. Продолжая прорабатывать свою систему пропорционирова- ния, Ле Корбюзье создал «модулёр-2», в котором два квадрата со сторонами 1,13 см были соединены так, что образовывали третий квадрат такого же размера. Прямой угол, вписанный в прямоугольник по общей стороне квадратов, образует две точки пересечения на сторонах третьего квадрата. Соединения этих точек прямой дает в одну сторону уменьшающуюся, в другую сторону -увеличивающуюся серию гармоничных носителей «красной» и «синей» серии.

Используя в своем творчестве наследие предшественников, многие художники продолжают их поиски систем пропорционирова- ния, поиски своего канона, который позволил бы создавать неповторимые произведения искусства. Многие авторы шли по пути сочетания в своих творениях разных систем пропорционирования. Например, «пропорциональный строй храма Покрова на Нерли «подчиняется» и золотому сечению, и применению диагонали квадрата, и гармонизации математического ряда, и древнерусским мерам длины. Не входя в оценку всех этих приемов, отметим, что соразмерение зодчими архитектурной формы остается неопровержимым фактом, какие бы интуитивные начала ни лежали в его основе» [14].

Выбор и использование такого средства гармонизации, как пропорции, позволяет художнику создавать произведение, максимально отвечающее законам гармонии и эстетическим потребностям человека. Применение определенных пропорциональных отношений может придать большую выразительность созданному художественному образу, глубже раскрыть его. Однако необходимо отметить, что освоение такого средства гармонизации композиции, как пропорции, требует от обучаемого аналитического мышления, развития логики, элементарной математической грамотности, а также большой скрупулезности в работе. Не зря А. Бурдель говорил: «Искусство – завуалированная алгебра, отнимающая жизнь у тех, кто стремится приподнять ее покрывало».

Чтобы создавать гармоничные, то есть целостные произведения, художник должен осваивать и затем применять законы природы.

Необходимо сказать, что проблема пропорционирования – одна из сложнейших художественных проблем, требующих осмысления.

Анализируя картину Веласкеса «Сдача Бреды», Б. В. Иогансон писал: «Пропорции главных масс гениально просты: если вы возьмете расстояние по горизонтали от левого края картины до последней фигуры левой группы – до стоящего за белой мордой лошади, – то оно будет равно расстоянию от края правой части картины до крайней фигуры правой группы, то есть до человека в шляпе на последнем плане. Если вы возьмете расстояние по вертикали, то расстояние сверху до главной массы, то есть крупа лошади, равно расстоянию до низа картины. Если вы проведете диагональ, то одна пройдет через голову сдающего ключи, вторая – через голову принимающего. Внимательное наблюдение за всеми элементами приведет вас к выводу, что автор путем противопоставлений, путем разнообразия (даже шпоры пик на разной высоте и не параллельны), не упуская цельности, добился исключительной ясности» [15].