Понятие величины, свойства однородных величин

Величина - одно из математических понятий, которое является обобщением более конкретных понятий: длины, объема, массы и т.д. Понятие величины связано со способами сравнения определенных свойств предметов. Однородными называются такие величины, кото­рые имеют одинаковые единицы измерения.

Свойства однородных величин:

1) для двух величин одного рода справедливо только одно из вы­сказываний: х=у или х<у, или х>у;

2) Отношение «быть большим по величине» (х>у) является отно­шением порядка. Например, отношение «быть тяжелее» на множестве всех яблок является антирефлексивным (любое из яблок не тяжелее самого себя), антисимметричным (если яблоко х тяжелее яблока у, то яблоко у не тяжелее яблока х), транзитивным (если яблоко х тяжелее яблока у и яблоко у тяжелее яблока z, то яблоко х тяжелее яблока z);

3) отношение «быть одинаковым по величине» (х=у) является от­ношением эквивалентности. Например, «быть одинаковым по массе» на множестве всех яблок рефлексивно (каждое яблоко одинаково по массе с самим собой), симметрично (если яблоко х одинаково по массе с яблоком у, то яблоко у одинаково по массе с яблоком х), транзитивно (если яблоко х одинаково по массе с яблоком у и яблоко у одинаково по массе с яблоком z, то яблоко х одинаково по массе с яблоком z);

4) однородные величины можно складывать. Сложение величин обладает следующими свойствами:

а) переместительности, т.е. х+у=у+х,

б) сочетательности, т.е. x+(y+z)=(x+y)+z,

в) монотонности, т.е. х<х+у;

5) если х<у, то существует величина z, такая, что x+z=y. Величина z=y-x называется разностью между величинами у и х;

6) всякую величину х можно делить на любое число n одинаковых частей;

7) для любых величин х и у всегда найдется такое число n, что х<nу;

8) рассмотрим две бесконечные последовательности однородных величин. Первая а₁, а₂,..., а_n,... - возрастающая, а вторая в₁, в₂,..., в_n,... - убывающая. Пусть любая величина первой последовательности меньше любой величины второй последовательности. И чем больше номер члена каждой последовательности, тем больше они приближа­ются друг к другу. При этих условиях существует единственная величина х, которая больше всех членов первой последовательности и меньше всех членов второй последовательности, т.е.a_i <в_i.

Эти свойства характеризуют любую величину, т.е. определяют общее понятие величины.