Типовые примеры. Пример 9.1.Имеются данные об урожайности пшеницы в РФ в хозяйствах всех категорий в центнерах с одного гектара убранной площади (табл

Пример 9.1. Имеются данные об урожайности пшеницы в РФ в хозяйствах всех категорий в центнерах с одного гектара убранной площади (табл. 9.1).

Таблица 9.1

Данные для примера 9.1

Годы
Урожайность, ц/га	16,1	20,6	20,7	17,1	19,8	19,3	19,5	21,0	24,5	23,2	19,1

Требуется:

1) рассчитать показатели динамики, характеризующие изменение урожайности пшеницы от года к году, по сравнению с 2000 г. и в целом за период 2000—2010 гг.;

2) выявить тенденцию изменения урожайности пшеницы, используя методы укрупненных интервалов, скользящей средней, аналитического выравнивания;

3) определить доверительные интервалы прогноза урожайности пшеницы на 2011 г.

Решение

Для оценки изменения уровней ряда от года к году рассчитаем цепные показатели, по сравнению с 2000 г. — базисные показатели, используя формулы абсолютного изменения ; темпа роста и темпа прироста . Результаты расчетов представлены в табл. 9.2.

Таблица 9.2

Результаты расчетов для примера 9.1

Годы	Урожайность пшеницы, ц/га	Абсолютное изменение, ц/га	Темп роста, %	Темп прироста, %
цепное	базисное	цепной	базисный	цепной	базисный
	16,1	—	—	—	—	—	—
	20,6	4,5	4,5	127,95	127,95	27,95	27,95
	20,7	0,1	4,6	100,49	128,57	0,49	28,57
	17,1	–3,6	1,0	82,61	106,21	–17,39	6,21
	19,8	2,7	3,7	115,79	122,98	15,79	22,98
	19,3	–0,5	3,2	97,47	119,88	–2,53	19,88
	19,5	0,2	3,4	101,04	121,12	1,04	21,12
	21,0	1,5	4,9	107,69	130,43	7,69	30,43
	24,5	3,5	8,4	116,67	152,17	16,67	52,17
	23,2	–1,3	7,1	94,69	144,10	–5,31	44,10
	19,1	–4,1	3,0	82,33	118,63	–17,67	18,63

Отрицательные значения абсолютного изменения и темпа прироста, а также значения темпа роста меньше 100% говорят о снижении уровня по сравнению со сравниваемым; соответственно положительные значения абсолютного изменения и темпа прироста и значения темпа роста больше 100% говорят об увеличении уровня динамического ряда. Например, в 2009 г. урожайность пшеницы снизилась на 1,3 ц/га, или на 5,31%, по сравнению с 2008 г., но это значение превысило уровень 2000 г. на 7,1 ц/га, или на 44,1%. С 2000 по 2010 г. урожайность пшеницы в РФ изменялась, снижения произошли в 2003, 2005, 2009 и 2010 гг.; в сравнении с уровнем 2000 г. на протяжении всех 10 лет наблюдалось увеличение урожайности, хотя снижение уровня 2010 г. значительно сократило это увеличение.

Для характеристики изменения в целом за 11 лет рассчитаем средние показатели.

Среднегодовой уровень:

ц/га.

Средний абсолютный прирост

ц/га.

Средний коэффициент роста

.

Средний темп прироста

%.

Таким образом, средняя урожайность пшеницы в РФ за 2000–2010 гг. составила 20,09 центнеров с 1 га убранной площади, за этот период происходило среднегодовое увеличение урожайности на 0,3 ц/га или на 1,71%.

2. Сглаживание по трехлетней средней представлено в табл. 9.3.

Таблица 9.3

Сглаживание по трехлетней средней

Годы	Урожайность пшеницы, ц/га	Трехлетняя средняя
	16,1	—
	20,6	19,13
	20,7	—
	17,1	—
	19,8	18,73
	19,3	—
	19,5	—
	21,0	21,67
	24,5	—
	23,2	—
	19,1	21,15

Ряд состоит из 11 уровней. Первые три средние рассчитаны по трем годам, а последняя — за 2009 и 2010 гг. По полученным средним не удается определить тенденцию изменения урожайности пшеницы.

Сглаживание по трехлетней скользящей средней представлено в табл. 9.4.

Таблица 9.4

Сглаживание по трехлетней скользящей средней

Годы	Урожайность пшеницы, ц/га	Трехлетняя скользящая средняя
	16,1	—
	20,6	19,13
	20,7	19,47
	17,1	19,20
	19,8	18,73
	19,3	19,53
	19,5	19,93
	21,0	21,67
	24,5	22,90
	23,2	22,27
	19,1	—

Представим графическое изображение исходного и выравненного динамических рядов (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Графическое изображение исходного и выравненного по скользящей средней динамических рядов

По последовательным трехлетиям рассчитанные средние показывают направленность к увеличению урожайности, несмотря на некоторое снижение в 2003—2004 и 2009 гг.

Аналитическое выравнивание по уравнению прямой: .

Для расчета параметров уравнения прямой (табл. 9.5) обозначим за начало отсчета 2005 г., тогда до этого года номера лет будут иметь отрицательные значения, а после — положительные. Сумма номеров лет в таком случае равна нулю, поэтому параметры уравнения могут быть рассчитаны упрощенным способом:

; .

Таблица 9.5

Параметры уравнения прямой

Годы	Урожайность пшеницы, ц/га
	16,1	–5		–80,5	18,1	3,87
	20,6	–4		–82,4	18,5	4,53
	20,7	–3		–62,1	18,9	3,34
	17,1	–2		-34,2	19,3	4,74
	19,8	–1		–19,8	19,7	0,01
	19,3				20,1	0,61
	19,5			19,5	20,5	0,97
	21,0				20,9	0,01
	24,5			73,5	21,3	10,30
	23,2			92,8	21,7	2,27
	19,1			95,5	22,1	8,97
Итого	220,9			44,3	220,9	39,64

Тогда уравнение прямой таково: .

Свободный член уравнения, равный 20,1 ц/га, дает представление о средней урожайности пшеницы за 11 лет; ее среднегодовой прирост за этот период составил 0,4 ц/га.

Примечание. Расчет параметров уравнения производится методом наименьших квадратов путем решения системы уравнений. Система уравнений для определения параметров прямой имеет вид

где t_i — последовательно обозначенные временные интервалы. Если началом отсчета выбран центр ряда, то и система упрощается.

3. Дадим прогноз на основе полученной модели на 2011 г. Для этого подставим в уравнение прямой значение t = 6: ц/га.

Определим среднеквадратическое отклонение:

ц/га.

С учетом полученного среднеквадратического отклонения прогнозируемый диапазон будет выглядеть так: , т.е. .

Для получения достаточно надежных границ прогноза положения тренда зададим вероятность прогноза 95% (тогда уровень значимости α = 0,05; число степеней свободы составляет 11 – 2 = 9):

.

По таблице Стьюдента находим табличное значение t -критерия — 2,262. Тогда предельная ошибка составит .

С вероятностью 95% можно утверждать, что урожайность пшеницы в РФ в 2011 г. должна была составить значение из диапазона: ц/га.

Примечание. Реальное значение урожайности пшеницы в 2011 г. по РФ составило 22,6 ц/га.

Графическое изображение исходного и выравненного по уравнению прямой динамического ряда приведено на рис. 9.2.

Рис. 9.2. Графическое изображение исходного и выравненного по уравнению прямой динамических рядов

Пример 9.2. Имеются данные об объеме оказанных услуг по гостиницам Краснодарского края (табл. 9.6).

Таблица 9.6

Данные для примера 9.2, млн руб.

Месяц	2007 г.	2008 г.	2009 г.
Январь	135,8	166,9	139,6
Февраль	122,3	118,7	111,3
Март	119,3	132,8
Апрель	119,9	145,2	121,5
Май	164,5	221,6	167,4
Июнь	256,2	297,9	233,6
Июль	307,9	313,4	269,4
Август	329,2	359,4	327,4
Сентябрь	309,1	367,5	328,4
Октябрь	162,9		173,7
Ноябрь	97,7	117,7	115,1
Декабрь	91,2		109,6

Требуется:

1) рассчитать коэффициенты сезонности по каждому месяцу;

2) произвести выравнивание данного динамического ряда по уравнению прямой;

3) сделать прогноз на январь, июль и сентябрь 2010 г. с учетом индекса сезонности;

4) дать графическое изображение сезонной волны.

Решение

1. Сделаем расчет индексов сезонности на основе среднемесячных уровней:

.

Из полученных результатов (табл. 9.7) следует, что «пик сезона» приходится на август и сентябрь, в остальные месяцы объем предоставляемых услуг гостиницами ниже, минимальное значение достигается в декабре, причем максимум в 3,5 раза выше самого низкого значения.

Таблица 9.7

Индексы сезонности

Месяц	Среднемесячный уровень	Индекс сезонности, %
Январь	147,4	76,20
Февраль	117,4	60,70
Март	122,7	63,42
Апрель	128,9	66,61
Май	184,5	95,36
Июнь	262,6	135,71
Июль	296,9	153,46
Август	338,7	175,04
Сентябрь	335,0	173,15
Октябрь	178,9	92,45
Ноябрь	110,2	56,94
Декабрь	98,6	50,96
Итого	193,5	—

2. Для выравнивания упорядочим ежемесячные уровни, пронумеруем их и рассчитаем параметры уравнения прямой (табл. 9.8), используя систему нормальных уравнений

Таблица 9.8

Параметры уравнения прямой

Месяц
Январь	135,8			135,8	184,7	73,52	77,3	142,8
Февраль	122,3			244,6	185,2	66,04	61,5	113,9
Март	119,3			357,9	185,7	64,24	64,1	119,0
Апрель	119,9			479,6	186,2	64,39	67,1	124,9
Май	164,5			822,5	186,7	88,11	95,8	178,8
Июнь	256,2			1537,2	187,2	136,86	136,1	254,8
Июль	307,9			2155,3	187,7	164,04	153,6	288,3
Август	329,2			2633,6	188,2	174,92	174,5	328,4
Сентябрь	309,1			2781,9	188,7	163,80	172,1	324,7
Октябрь	162,9				189,2	86,10	91,6	173,4
Ноябрь	97,7			1074,7	189,7	51,50	56,2	106,7
Декабрь	91,2			1094,4	190,2	47,95	50,2	95,5
Январь	166,9			2169,7	190,7	87,52	77,3	147,5
Февраль	118,7			1661,8	191,2	62,08	61,5	117,6
Март	132,8				191,7	69,27	64,1	122,8
Апрель	145,2			2323,2	192,2	75,55	67,1	128,9
Май	221,6			3767,2	192,7	115,00	95,8	184,6
Июнь	297,9			5362,2	193,2	154,19	136,1	263,0
Июль	313,4			5954,6	193,7	161,80	153,6	297,5
Август	359,4				194,2	185,07	174,5	338,9
Сентябрь	367,5			7717,5	194,7	188,75	172,1	335,0
Октябрь					195,2	102,46	91,6	178,9
Ноябрь	117,7			2707,1	195,7	60,14	56,2	110,1
Декабрь					196,2	48,42	50,2	98,5
Январь	139,6				196,7	70,97	77,3	152,1
Февраль	111,3			2893,8	197,2	56,44	61,5	121,3
Март					197,7	58,67	64,1	126,7
Апрель	121,5				198,2	61,30	67,1	133,0
Май	167,4			4854,6	198,7	84,25	95,8	190,3
Июнь	233,6				199,2	117,27	136,1	271,1
Июль	269,4			8351,4	199,7	134,90	153,6	306,7
Август	327,4			10476,8	200,2	163,54	174,5	349,4
Сентябрь	328,4			10837,2	200,7	163,63	172,1	345,3
Октябрь	173,7			5905,8	201,2	86,33	91,6	184,4
Ноябрь	115,1			4028,5	201,7	57,06	56,2	113,4
Декабрь	109,6			3945,6	202,2	54,20	50,2	101,5
Итого	6965,1			130795,5	6964,2	3600,30	3600,3	6969,5

Отсюда .

Подставив в уравнение соответствующие значение t_i, получим выравненные значения объемов услуг по тренду (графа 6).

3. Определим индексы сезонности через соотношение фактических и выравненных значений по каждому из 36 месяцев: (графа 7). Затем для получения индексов сезонности по одноименным месяцам года рассчитаем средние индексы сезонности за январь, февраль, март и т.д. В итоге выравненные уровни ряда с учетом индекса сезонности рассчитываются умножением выравненных уровней по тренду на средний индекс сезонности соответствующего месяца (графа 8). Теперь для прогнозирования подставляем соответствующий номер t_i в полученное уравнение и умножим результат на средний индекс сезонности:

4. График сезонной волны может быть представлен различными графиками. Приведем два изображения. Первый график (рис. 9.3) отражает исходные данные в своих единицах измерения и наглядно демонстрирует наличие сезонных колебаний. Второй график (рис. 9.4) отражает исходный и выравненный динамические ряды.

Рис. 9.3. Исходные данные в своих единицах измерения

Рис. 9.4. Исходный и выравненный динамические ряды