Основные типы шкал измерения

В системном анализе выделяют раздел «теория эффективности», связанный с определением качества систем и процессов, их реализующих. Теория эффективности - научное направление, предметом изучения которого являются вопросы количественной оценки качества характеристик и эффективности функционирования сложных систем.

Оценка сложных систем может проводиться для разных целей:

4) для оптимизации - выбора наилучшего алгоритма из нескольких, реализующих один закон функционирования системы;

5) для идентификации - определения системы, качество которой наиболее соответствует реальному объекту в заданных условиях;

6) для принятия решений по управлению системой.

Общим во всех подобных задачах является подход, основанный на том, что понятия «оценка» и «оценивание» рассматриваются раздельно и оценивание проводится в несколько этапов. Под оценкой понимают результат, получаемый в ходе процесса, который определен как оценивание. Т.е. с термином «оценка» сопоставляется понятие «истинность», а с термином «оценивание» - «правильность». Истинная оценка может быть получена только при правильном процессе оценивания. Это положение определяет место теории эффективности в задачах системного анализа.

Выделяют четыре этапа оценивания сложных систем.

Этап 1. Определение цели оценивания. Выделяют два типа целей: качественные и количественные, достижение которых выражаются в соответствующих шкалах. Определение цели должно осуществляться относительно системы, в которой рассматриваемая система является элементом (подсистемой).

Этап 2. Измерение свойств систем, признанных существенными для целей оценивания. Для этого выбираются соответствующие шкалы измерений свойств и всем исследуемым свойствам систем присваивается определенное значение на этих шкалах.

Этап 3. Обоснование предпочтений критериев качества и критериев эффективности функционирования систем на основе измеренных на выбранных шкалах свойств.

Этап 4. Собственно оценивание. Все исследуемые системы, рассматриваемые как альтернативы, сравниваются по сформулированным критериям и в зависимости от целей оценивания ранжируются, выбираются, оптимизируются и т.д.

2.1.1. Понятие шкалы

В основе оценки лежит процесс сопоставления значений качественных или количественных характеристик исследуемой системы значениям соответствующих шкал. Исследование характеристик привело к выводу о том, что все возможные шкалы принадлежат к одному из нескольких типов, определяемых перечнем допустимых операций на этих шкалах.

Формально шкалой называется кортеж из трех элементов <X, j, Y>, где Х - реальный объект, Y - шкала, j - гомоморфное отображение X на Y.

В современной теории измерений определено:

X= { x ₁, х ₂,… x_i,…, х_п, R_x } - эмпирическая система с отношением, включающая множество свойств x_i, на которых в соответствии с целями измерения задано некоторое отношение R_x. В процессе измерения необходимо каждому свойству х_i Î X поставить в соответствие признак или число, его характеризующее. Если, например, целью измерения является выбор, то элементы х_i рассматриваются как альтернативы, а отношение R_x позволяет сравнивать эти альтернативы; Y ={ j (x ₁),…, j(х_п), R_y } знаковая система с отношением, являющаяся отображением эмпирической системы в виде некоторой образной или числовой системы, соответствующей измеряемой эмпирической системе; j Î Ф - гомоморфное отображение X на Y, устанавливающее соответствие между X и Y так, что { j (x ₁),…, j(х_п), R_y }Î R_y только тогда, когда (х ₁,..., х_п,) Î R_x.

Тип шкалы определяется по множеству допустимых преобразований Ф.

В соответствии с приведенными определениями, охватывающими как количественные, так и качественные шкалы, измерение эмпирической системы X с отношением R_x состоит в определении знаковой системы Y с отношением R, соответствующей измеряемой системе. Предпочтения R_x на множестве Х ´ Х в результате измерения переводятся в знаковые (в том числе и количественные) соотношения R_y на множестве Y ´ Y.

2.1.2. Шкалы номинального типа

Самой слабой качественной шкалой является номинальная (шкала наименований, классификационная шкала), по которой объектам или их неразличимым группам дается некоторый признак. Название «номинальный» объясняется тем, что такой признак дает лишь ничем не связанные имена объектам. Шкалы номинального типа задаются множеством взаимно однозначных допустимых преобразований шкальных значений. Эти значения для разных объектов либо совпадают, либо различаются; никакие более тонкие соотношения между значениями не зафиксированы. Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений равенства между элементами эмпирической системы в эквивалентных шкалах.

Примерами измерений в номинальном типе шкал могут служить номера автомашин, телефонов, коды городов, лиц, объектов и т. п. Единственная цель таких измерений выявление различий между объектами разных классов. Если каждый класс состоит из одного объекта, шкала наименований используется для различения объектов.

На рис.2.1 изображено измерение в номинальной шкале объектов, представляющих три множества элементов А, В, С. Здесь эмпирическую систему представляют четыре элемента: а Î A, b Î В, {с, d} ÎС. Знаковая система представлена цифровой шкалой наименований, включающей элементы 1, 2,..., n и сохраняющей отношение равенства. Гомоморфное отображение φ ставит в соответствие каждому элементу из эмпирической системы определенный элемент знаковой системы. Номинальные шкалы имеют две особенности:

• элементам c и d поставлено в соответствие одно и то же значение шкалы измерения (см. рис.2.1). Т.е. при измерении эти элементы не различаются.

• Рис.2.1. Измерение объектов в номинальной шкале

  
  при измерении в шкале наименований символы 1, 2, 3,..., п,используемые в качестве шкальных значений, являются не числами, а цифрами, служащими лишь для обозначения и различия объектов. Так, цифра 2 не является в два раза или на единицу больше цифры 1 в отличие от чисел 2 и 1.

Всякая обработка результатов измерения в номинальной шкале должна учитывать данные особенности. В противном случае могут быть сделаны ошибочные выводы по оценке систем, не соответствующие действительности.

2.1.3. Шкалы порядка

Шкала называется ранговой (шкалой порядка), если множество Ф состоит из всех монотонно возрастающих допустимых преобразований шкальных значений.

Монотонно возрастающим называется такое преобразование φ (х), которое удовлетворяет условию: если х ₁ > х ₂, то и φ (х ₁) > φ (х ₂) для любых шкальных значений из области определения. Порядковый тип шкал допускает не только различие объектов, как номинальный тип, но и используется для упорядочения объектов по измеряемым свойствам.

Ситуации для применения ранговой шкалы:

• необходимо упорядочить объекты во времени или пространстве. При этом интересуются не сравнением степени выраженности какого-либо их качества, а лишь взаимным пространственным или временным расположением объектов;

• нужно упорядочить объекты в соответствии с каким-либо качеством, но при этом не требуется производить его точное измерение;

• какое-либо качество в принципе измеримо, но в настоящий момент не может быть измерено по причинам практического или теоретического характера.

Примеры шкал порядка: шкала твердости минералов, предложенная в 1811 г. немецким ученым Ф. Моосом и до сих пор распространенная в полевой геологической работе; шкалы силы ветра, силы землетрясения, сортности товаров в торговле, социологические шкалы и т.п.

Любая шкала, полученная из шкалы порядка S с помощью произвольного монотонно возрастающего преобразования шкальных значений, будет также точной шкалой порядка для исходной эмпирической системы с отношениями.

2.1.4. Шкалы интервалов

Одним из наиболее важных типов шкал является тип интервалов. Этот тип содержит шкалы, единственные с точностью до множества положительных линейных допустимых преобразований вида φ (х) = ах + b, где х Î Y шкальные значения из области определения Y; а > 0; b - любое значение.

Основным свойством этих шкал является сохранение неизменными отношений интервалов в эквивалентных шкалах:

Примеры применения шкал интервалов:

1) Шкалы температур. Переход от одной шкалы к эквивалентной, например от шкалы Цельсия к шкале Фаренгейта, задается линейным преобразованием шкальных значений:
t °F = 1,8 t °С + 32.

2) Измерение признака «дата совершения события», поскольку для измерения времени в конкретной шкале необходимо фиксировать масштаб и начало отсчета. Григорианский и мусульманский календари - две конкретизации шкал интервалов.

При переходе к эквивалентным шкалам с помощью линейных преобразований в шкалах интервалов происходит изменение как начала отсчета (параметр b), так и масштаба измерений (параметр а).

Шкалы интервалов так же, как номинальная и порядковая, сохраняют различие и упорядочение измеряемых объектов. Однако кроме этого они сохраняют и отношение расстояний между парами объектов. Запись означает, что расстояние между х ₁ и х ₂в K раз больше расстояния между х ₃ и х ₄ и в любой эквивалентной шкале это значение (отношение разностей численных оценок) сохранится. При этом отношения самих оценок не сохраняются.

В социологических исследованиях в шкалах интервалов обычно измеряют временные и пространственные характеристики объектов. Например, даты событий, стаж, возраст, время выполнения заданий, разницу в отметках на графической шкале и т.д. Однако прямое отождествление замеренных переменных с изучаемым свойством не столь просто.

Типичная ошибка: свойства, измеряемые в шкале интервалов, принимаются в качестве показателей для других свойств, монотонно связанных с данными.

Применяемые для измерения связанных свойств исходные шкалы интервалов становятся всего лишь шкалами порядка. Игнорирование этого факта приводит к неверным результатам.

2.1.5. Шкалы отношений

Шкалой отношений (подобия) называется шкала, если Ф состоит из преобразований подобия j(х) = ах, а >0, где х Î Y- шкальные значения из области определения Y; а - действительные числа. В шкалах отношений остаются неизменными отношения численных оценок объектов: .

Примерами измерений в шкалах отношений являются измерения массы и длины объектов. При установлении массы используется большое разнообразие численных оценок: производя измерение в килограммах, получаем одно численное значение, при измерении в фунтах - другое и т.д. Однако в какой бы системе единиц ни производилось измерение массы, отношение масс любых объектов одинаково и при переходе от одной числовой системы к другой, эквивалентной, не меняется. Этим же свойством обладает и измерение расстояний и длин предметов.

Шкалы отношений отражают отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта.

Шкалы отношений образуют подмножество шкал интервалов фиксированием нулевого значения параметра b: b = 0. Это соответствует заданию нулевой точки начала отсчета шкальных значений для всех шкал отношений. Переход от одной шкалы отношений к другой, эквивалентной ей шкале осуществляется с помощью преобразований подобия (растяжения), т.е. изменением масштаба измерений. Шкалы отношений, являясь частным случаем шкал интервалов, при выборе нулевой точки отсчета сохраняют не только отношения свойств объектов, но и отношения расстояний между парами объектов.

2.1.6. Шкалы разностей

Шкалы разностей определяются как шкалы, единственные с точностью до преобразований сдвига φ (х) = х + b, где х Î Y шкальные значения из области определения Y; b - вещественные числа. Т.е. при переходе от одной числовой системы к другой меняется лишь начало отсчета. Шкалы разностей применяются в тех случаях, когда необходимо измерить, насколько один объект превосходит по определенному свойству другой объект. В шкалах разностей неизменными остаются разности численных оценок свойств: φ (х ₁) - φ (х ₂) = х ₁ - х ₂.

Примеры измерений в шкалах разностей:

3) Измерение прироста продукции предприятий (в абсолютных единицах) в текущем году по сравнению с прошлым;

4) Увеличение численности учреждений, количество приобретенной техники за год и т. д.

5) Летоисчисление (в годах). Переход от одного летоисчисления к другому осуществляется изменением начала отсчета.

Шкалы разностей являются частным случаем шкал интервалов, получаемых фиксированием параметра а: (а = 1), т.е. выбором единицы масштаба измерений. Точка отсчета в шкалах разностей может быть произвольной. Шкалы разностей сохраняют отношения интервалов между оценками пар объектов, но, в отличие от шкалы отношений, не сохраняют отношения оценок свойств объектов.

2.1.7. Абсолютные шкалы

Абсолютными называют шкалы, в которых единственными допустимыми преобразованиями Ф являются тождественные преобразования: φ (х) = { е }, где е(х) = х.

Это означает, что существует только одно отображение эмпирических объектов в числовую систему. Единственность измерения понимается в буквальном абсолютном смысле.

Абсолютные шкалы применяются, например, для измерения количества объектов, предметов, событий, решений и т.п. В качестве шкальных значений при измерении количества объектов используются натуральные числа, когда объекты представлены целыми единицами, и вещественные числа, если кроме целых единиц присутствуют и части объектов.

Абсолютные шкалы являются частным случаем всех ранее рассмотренных типов шкал, поэтому сохраняют любые соотношения между числами оценками измеряемых свойств объектов: различие, порядок, отношение интервалов, отношение и разность значений и т.д.

Кроме указанных существуют промежуточные типы шкал, например, степенная шкала φ(х) = ах^b; а >0, b >0, а ¹1, b ¹1, и ее разновидность логарифмическая шкала φ(х) = х^b; b >0, b ¹1.

Рис.2.2. Иерархическая структура основных шкал

Изобразим для наглядности соотношения между основными типами шкал в виде иерархической структуры основных шкал (рис.2.2). Стрелки указывают включение совокупностей допустимых преобразований более «сильных» в менее «сильные» типы шкал. При этом шкала тем «сильнее», чем меньше свободы в выборе φ(х). Некоторые шкалы являются изоморфными, т.е. равносильными. Например, равносильны шкала интервалов и степенная шкала. Логарифмическая шкала равносильна шкале разностей и шкале отношений.