Основы электродинамики направляющих систем

ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ НАПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ

§1.1 Постоянное и переменное электромагнитное поле. Электромагнитная волна

Постоянное электромагнитное поле. Постоянная разность потенциалов создаёт постоянное электрическое поле напряжённостью Е и постоянное во времени вихревое магнитное поле Н, направленное по правилу правой руки (рис.1.1.).

Переменное электромагнитное поле.

1) Переменное электрическое поле создаёт вокруг себя вихревое магнитное поле Н, направленное по правилу правого винта.

2) Вихревое магнитное поле изменяется с течением времени (изменяет свое направление вслед за изменением направления вектора ) создаёт вокруг себя вихревое электрическое поле, направление которого определяется по правилу левой руки (рис.1.2.).

§1.2.Электромагнитные процессы в проводных системах. Вектор Умова-Пойтинга.

На потерях энергии при распространении волн всегда сказывается влияние проводников и диэлектриков, встречающихся на их пути.

В проводной системе энергия передаётся за счёт протекания тока проводимости (). Электромагнитное поле возникает из-за движения зарядов по проводнику и изменения магнитного поля во времени (рис.1.3.).

В результате внутри проводника происходят волновые процессы, показанные на рисунке 1.2. Эти процессы препятствуют распространению электромагнитной энергии по проводнику, вызывая дополнительные потери.

Введем характеристику количества энергии.

Количество энергии (мощность), распространяющее в единицу времени через плоскость, перпендикулярную направлению потока энергии, выражается величиной

, (1.1.)

где – называется вектором Умова-Пойтинга.

В проводных системах в идеальном случае для того, чтобы возник П_z необходимо и , следовательно, E_z=0.

Однако вследствие потерь в металле возникает составляющая E_z≠0, которая будет характеризовать величину этих потерь (амплитуда сигнала уменьшается и вдоль оси z возникает разность потенциалов).

§1.3. Электромагнитные процессы в волноводах (диэлектриках).

В отличие от проводной системы в диэлектрике отсутствует ток проводимости и энергия передаётся за счёт возникновения тока смещения, т.е. переменной поляризации диполей (рис.1.4.).

Чем выше частота переменной поляризации, тем больше ток смещения.

Выводы:

1) В волноводах энергия передаётся за счёт внешнего изменения электрического поля с течением времени и за счет изменения вихревого магнитного поля.

2) В волноводе Е_вихр соответствует составляющей Е_z, которая характеризует не потери, как в проводных системах, а мощность передаваемой энергии. Е_z совпадает по направлению с вектором П_z

3) Для того чтобы поддержать постоянным электромагнитное поле в волноводе необходимо изменять полярность внешнего электрического поля с высокой частотой, иначе произойдут процессы аналогичные разряду конденсатора. При этом должно выполняться условие λ ≤ D, т.к.частота f = υ/λ

где λ – длина волны;

D – диаметр волновода;

υ – скорость распространения электромагнитной волны.

Т.к. распространение электромагнитной энергии по волноводам описывается в рамках волновой теории, то составляющие Е_z и H_z будут описывать не потери энергии, а сам процесс распространения энергии по волноводу. Чем больше эти составляющие, тем больше мощность передаваемой энергии.

§1.4. Примеры структуры электромагнитного поля внутри волноводов

Пример №1.

Пример №2.

С точки зрения лучевой теории световые лучи, соответствующие структуре электромагнитного поля в приведённых примерах называются меридиальными. Для них одна из составляющих перпендикулярна плоскости волновода, а другая принадлежит плоскости волновода.

Такие лучи, распространяясь по световоду, пересекают его ось.

Структура поля, показанная на рисунке 1.5. (волна типа Н₀₁) обладает лучшими характеристиками, по сравнению со структурой поля на рисунке 1.6. (волна типа Е₀₂). Это объясняется тем, что в первом случае в металлических стенках волновода будет отсутствовать Е_z, т.е. ток проводимости.

Во втором случае электрическая составляющая Е_z будет пересекать металлические стенки волновода, вызывая в них ток проводимости, следовательно, дополнительные потери в металле.

В световодах, кроме меридиальных лучей, могут распространяться также косые лучи. Они в отличие от меридиальных огибают ось световода по определённой траектории (рис.1.7. Треугольник или многогранник в поперечном сечении).

§ 1.5. Классы электромагнитных волн.

В зависимости от структуры электромагнитного поля различают следующие классы электромагнитных волн: ТЕМ – поперечно-электромагнитная; Е - электрическая или поперечно-магнитная ТМ-волна; Н – магнитная или поперечно-электрическая ТЕ-волна; ЕН, НЕ – гибридные или смешанные. Основные данные по классам волн представлены в таблице 1.

I Поперечная электромагнитная волна.

Передается по проводникам в проводных системах (см. § 1.2.) за счёт тока проводимости, ток смещения присутствует в изоляции и вызывает дополнительные потери.

II Электрическая поперечно – магнитная волна.

Такие волны передаются по световодам и волноводам. Энергия передаётся за счёт тока смещения, при этом возникает в металлических стенках ток проводимости, вызывая дополнительные потери.

III Магнитная или поперечно – электрическая волна.

Такие волны передаются по световодам и волноводам. Определяющим является ток смещения; ток проводимости отсутствует.

IV Смешанные или гибридные волны.

Такие волны передаются по световодам и волноводам. Содержат обе продольные составляющие с преобладанием в поперечном сечении соответственно электрического или магнитного поля.

Таблица 1.1.

	Обозначение класса	Наименование класса	Определяющий ток	Длина волны	Вид направляющей системы	Частота тока
ЕZ =0, НZ =0	Т, ТЕМ	поперечно-электромагнитная	( вызывает потери в изоляции)	λ>D	ВЛС, СК, КК	f↑ потери↑
ЕZ ≠0, НZ =0	Е	электрическая или поперечно-магнитная	( вызывает потери в металлических стенках)	λ<D	МВ	f↑ потери↓
ЕZ =0, НZ ≠0	Н	магнитная или поперечно-электрическая		λ<D	МВ	f↑ потери↓
Еz ≠0, Нz ≠0	ЕН, НЕ	гибридные или смешанные		λ<D	Световоды, диэлектрич. волноводы	f↑ потери↓

§ 1.6.Типы (моды) электромагнитных волн.

Наряду с делением на классы электромагнитные волны (кроме ТЕМ) подразделяются также на типы. Тип волны (или мода) определяется сложностью структуры электромагнитного поля в поперечном сечении направляющей системы и обозначается двумя индексами (m, n), которые записываются рядом с обозначением класса.

Например: → ; → ; ,

где для круглых волноводов m – число полных изменений поля по окружности волновода, а n – по диаметру.

В металлических волноводах круглого сечения наиболее перспективна волна , затухание которой падает с ростом частоты. Электрические силовые линии поля этой волны замкнуты и не соприкасаются со стенками волновода, в которых нет в этом случае токов проводимости и потерь энергии в металле.

Волны различных типов можно рассматривать как световые лучи, отличающиеся углом падения и траекторией распространения.

Для меридианных лучей (пересекающих ось световода) индекс m =0, n – показывает число полупериодов (полуволн), укладывающихся вдоль горизонтальной стенки волновода.

Для косых лучей индекс m ≠ 0. В этом случае m – показывает число полупериодов, укладывающихся вдоль вертикальной стенки волновода или число сторон многоугольника, образованного траекторией луча в торце световода (см. рис.1.7.).

Во всех случаях металлические и диэлектрические волноводы характеризуются так называемой критической частотой или соответствующей ей критической длиной волны . Волны длиной больше (частотой ниже ) по волноводам не распространяются.

Световоды, по которым распространяются две моды Е₀₁ и Н₀₁, называются одинаковыми. Световоды, по которым распространяются различные моды – многомодовыми.

§1.7. Исходные уравнения электродинамики в векторной форме и их физический смысл.

Исходными уравнениями электродинамики являются уравнения Максвелла, обобщающие два основных закона электродинамики: закон полного тока и закон электромагнитной индукции.

Для однородных сред основные уравнения электромагнитного поля в дифференциальной форме имеют вид:

(1.2.)

(1.3.)

(1.4.)

(1.5.)

где и - векторы напряженности соответственно электрического и магнитного полей;

σ - проводимость среды (диэлектрик σ = 0);

ε – диэлектрическая проницаемость среды;

μ – магнитная проницаемость среды;

ρ – объемная плотность электрического заряда;

div (дивергенция)– векторный оператор, характеризующий скорость и количество вытекания частиц;

rot (ротор)– векторный оператор, описывающий изменение вектора по окружности в заданном направлении по правилу правой руки;

- приращение электромагнитного поля с течением времени t;

- приращение внешнего магнитного поля с течением времени t.

Физический смысл уравнений Максвелла:

1) Магнитное поле всегда вихревое (уравнение 1.4), и возбуждается оно как движущимися зарядами, так и изменяющимся во времени электрическим полем (уравнение 1.2).

2) Электрическое поле может быть вихревым (в этом случае оно возбуждается изменяющимся во времени магнитным полем – уравнение 1.3) и безвихревым (если оно возбуждается постоянными во времени электрическими зарядами – уравнение 1.5). Знак минус в уравнении 1.3 указывает на направление электрического поля (правило левой руки). Магнитное поле направлено по правилу правой руки (уравнение 1.2).

При решении конкретных задач должны быть учтены начальные и граничные условия.

§1.8. Уравнение Максвелла для гармонических процессов в комплексной форме.

Для гармонических процессов уравнение Максвелла удобно представлять в комплексной форме.

Гармонический процесс – любой процесс, подчиненный гармоническому закону, например:

В показательно форме:

При временной зависимости вида , пользуясь символическим методом, переменное электрическое и магнитное поле изменяются по закону:

Т.к. первая производная , следовательно

Тогда система уравнений (1.2-1.5) (см.§ 1.7.) будет иметь вид:

(1.6)

§1.9. Волновые уравнения в векторной форме

Путём математических преобразований из уравнений Максвелла могут быть получены волновые уравнения. Как и уравнения Максвелла, они описывают электромагнитные процессы в любой физической среде. Однако считается, что пространство, где происходят эти процессы, ограниченно и замкнуто (внутри проводника, световода, т.е. направляющей системы). При этом электромагнитная энергия распространяется в заданном направлении (вдоль направляющей системы).

В векторной форме волновые уравнения имеют вид:

В левой части волнового уравнения находится дифференциальное уравнение, записанное в векторной форме, которое описывает электромагнитные процессы, происходящие внутри проводников или волноводов при передаче энергии ( - оператор Лапласа; ). В правой части в виде коэффициента распространения среды k сгруппированы параметры среды σ, μ, ε, которые характеризуют материал, из которого изготовлена направляющая система.

.

При помощи коэффициента k может быть рассчитана скорость распространения электромагнитных волн в металле и диэлектрике, например для диэлектрика (σ = 0):

.

§1.10 Волновые уравнения в цилиндрической системе координат.

Так как направляющие системы имеют преимущественно форму стержня, то удобнее волновые уравнения записывать в цилиндрической системе координат (координаты r – радиус-вектор; z – координаты по оси z; φ – угол поворота радиус-вектора).

Оператор Лапласа
в цилиндрической системе координат записывается как:

Следовательно, волновые уравнения в цилиндрической системе координат записываются как: