Функции и способы их задания

Пусть X и Y некоторые множества.

Определение 2.1. Функцией называется отношение (соответствие) f между множествами X и Y, при котором каждому элементу x X соответствует единственный элемент y Y. Множество X называют областью определения функции и обозначают D(f), а множество { f(x) } Y – областью или множеством значения функции и обозначают E(f).

Определение 2.2. Переменную x D(f)называют независимой переменной или аргументом, а y E(f) называют зависимой переменной или функцией.

Определение 2.3. Если X и Y – числовые множества, то y = f(x) называется числовой функцией.

Пример 2.4. Пусть даны два множества X ={2;3;5;7}, Y ={15;18;31}. Установим между ними такое соответствие: элемент x X является делителем элемента y Y. Тогда каждому элементу множества X соответствует только один элемент множества Y: 2 28; 3 15; 5 15; 7 28. Следовательно, задана функция.

Существуют три способа задания функции: аналитический, графический и табличный.

Если указана совокупность операций, которые нужно произвести над аргументом x, чтобы получить значение функции, то говорят, что функция задана аналитическим выражением.

Примером могут служить функции y = x ²-5 x +1, x [0,1], y = x ²+7 x -1, x (; ). Они заданы на различных множествах.

Функция может задаваться на различных числовых множествах различными аналитическими выражениями, например

Эта функция определена [-1;1]. Для вычисления значения функции нужно выяснить, каким аналитическим выражением следует воспользоваться для заданного конкретного значения аргумента.

Определение 2.5. Множество из n элементов { a₁, a₂, …, a_n }, для каждого из которых установлено, какой является 1-м, 2-м, …, n-м, называется упорядоченной n-кой (a₁, a₂, …, a_n).

Определение 2.6. Множество упорядоченных пар действительных чисел, т.е. {(x;y) | x , y }, называется числовой плоскостью. Обозначают ее .

Способ задания функции с помощью графика на координатной плоскости называется графическим.

При табличном способе задания функции приводится таблица, в которой даются значения функции для конечного множества значений аргумента.