Теорема о точных гранях

Всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

Пример 4. Доказать ограниченность множества .

Очевидно, что (ведь ). Далее,

для всех положительных . Следовательно, и множество ограничено.

Пример 5. Найти точные верхнюю и нижнюю грани множеств

а) ; б) ; в) , . Найти наибольший и наименьший элементы этих множеств, если такие элементы существуют.

а) Все элементы данного множества положительны, поэтому нуль является его нижней гранью. При этом никакое положительное число не является его нижней гранью: для такое,

что , для этого достаточно взять . Следовательно, . Далее, очевидно, что для , т.е. число является верхней гранью этого множества и притом точной, а элемент является наибольшим элементом данного множества, наименьшего элемента множество не имеет.

б) Рассмотрим . С ростом данная величина

убывает, поэтому наибольшее значение величины реализуется при : , а наименьшее – при : . Следовательно, наименьшим элементом, а значит и точной нижней гранью данного множества является число , а наибольшим элементом и супремумом – число .

в) Множество чисел имеет наименьший элемент: , когда , поэтому . Так как (сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем ), то данное множество не содержит в себе наибольшего элемента, а его точной верхней гранью является число

Рассмотрение основных свойств вещественных чисел приводит к важному выводу: для вещественных чисел сохраняются все установленные для множества правила алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств.

Пример 6. Доказать, что сложение двух рациональных чисел и по правилу сложения вещественных чисел даёт тот же результат, что и сложение их по правилу сложения рациональных чисел: .

Возьмём произвольные рациональные числа и обозначим их сумму, полученную по правилу сложения вещественных чисел: , где - рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам . Докажем, что , т.е. .Для этого согласно определению супремума требуется доказать выполнение двух условий: 1) 2) такое, что . Первое следует из неравенств , с помощью свойства о почленном сложении неравенств для рациональных чисел: . Задавшись произвольным рациональным числом , выберем так, чтобы . Рассмотрим рациональные числа , . Тогда . Условие 2) выполнено.

Множество действительных чисел называется также числовой прямой или осью. Числовая прямая , дополненная двумя элементами и такими, что для по определению считается , называется расширенной числовой прямой . Элементы и называются бесконечно удалёнными точками числовой прямой.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Доказать, что есть иррациональное число.

2. Представить дробь в виде обыкновенной.

3. Запишите с помощью кванторов определение ограниченного снизу множества. Постройте отрицание этого определения, пользуясь правилом построения отрицаний.

4. Пусть и - непустые множества вещественных чисел, причём ограничено сверху, а . Докажите, что также ограничено сверху и .

5. Найти точные грани множества рациональных чисел , удовлетворяющих неравенству . Доказать, что это множество не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов.

6. Пусть - множество чисел, противоположных по знаку числам из множества . Докажите, что: 1) ; 2) .

7. Пусть и - непустые множества вещественных чисел, у которых каждое число из меньше любого числа из и для существуют числа и такие, что Докажите, что .

8. Пусть - непустые ограниченные множества вещественных чисел, а - множество всевозможных сумм , где , . Докажите, что множество ограничено и что:

1) 2)

9. Пусть - непустые ограниченные множества неотрицательных вещественных чисел, а - множество всевозможных произведений , где , . Доказать, что множество ограничено и что: 1) 2)

10. Доказать, что множество всех правильных рациональных дробей , , не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элемента. Найти его точные грани.

11. Доказать ограниченность множества:

.

12. Найти точные грани множеств: а)

б) в) ; . Найти наименьшие и наибольшие элементы этих множеств, если они существуют.

§6. Пространство . Простейшие множества в

Пространство подробно изучается в курсе линейной алгебры.

Определение 1. Элемент множества называется мерным вектором или мерной точкой. Числа называются координатами или проекциями вектора – первой, второй, …, той соответственно. Нуль-вектором называется вектор, каждая проекция которого есть нуль: .

Отметим, что два вектора равны тогда и только тогда, когда они имеют равные одноимённые проекции.

Определение 2. Суммой двух векторов и называется вектор , обозначаемый .

Определение 3. Произведением вектора на вещественное число называется вектор .

Для операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр выполнены аксиомы линейного пространства:

; ; ;

, что ;

; ; ;

- все эти равенства следуют из определений.

Определение 4. Скалярным произведением вектора на вектор называется вещественное число , обозначаемое либо .

Непосредственной подстановкой получаются свойства скалярного произведения:

; ; ; .

Определение 5. Модулем или нормой вектора называется и обозначается символом или .

Таким образом, , причём .

Введённое понятие модуля вектора обладает свойствами модуля числа:

1) 2) 3)

4) - неравенство треугольника.

Докажем неравенство треугольника, остальные свойства проверяются непосредственно.

Для любого вещественного числа имеем: . Этот, квадратный относительно трёхчлен, не может иметь различных вещественных корней, иначе он должен был бы принимать значения разных знаков, т.е. его дискриминант меньше либо равен нулю: или , откуда после извлечения корня следует неравенство Коши-Буняковского:

.

Запишем его в координатной форме: .

Данное неравенство позволяет доказать неравенство треугольника.

,

откуда после извлечения корня согласно определению модуля получим неравенство треугольника.

Определение 6. Множество всех мерных векторов с веденными операциями сложения, умножения на число, скалярным произведением векторов и модулем вектора называется мерным нормированным векторным пространством и обозначается .

Введём понятие расстояния между двумя точками следующим образом:

.

Введённое таким образом расстояние обладает следующими трёмя свойствами:

1) ,

2) 3)

- неравенство треугольника.

Выполнение первых 2-х свойств вытекает из свойств модуля и определения расстояния, проверим неравенство треугольника:

.

Рассмотрим простейшие множества в пространстве .

Определение 7. Прямоугольником или параллелепипедом в пространстве называется множество точек из , координаты которых удовлетворяют неравенствам , : . Величины , называются измерениями прямоугольника, произведение называется объёмом прямоугольника.

Если - центр прямоугольника, то он может быть определён как множество точек следующим образом: . Его измерения – , объём - .

Определение 8. Прямоугольной окрестностью точки называется прямоугольник с центром в точке и с одинаковыми измерениями :

.

В случае плоскости окрестностью точки является квадрат с центром в этой точке и со стороной , в случае - куб с ребром .

Определение 9. Сферой радиуса с центром в точке называется множество всех точек пространства , расстояние которых до центра равно , т.е.

.

Определение 10. Шаром радиуса в пространстве называется множество всех точек из , расстояние которых до данной точки , называемой центром шара, меньше :

.

Определение 11. Шаровой окрестностью точки называется шар радиуса с центром в точке : .

В линейном случае - множество вещественных чисел прямоугольник и шар будут интервалами, а прямоугольная и шаровая окрестности точки совпадут:

Теорема о равносильности двух определений окрестности в пространстве .

Какова бы ни была шаровая окрестность точки , существует её прямоугольная окрестность такая, что , и наоборот, для любой прямоугольной окрестности точки существует её шаровая окрестность такая, что .

Доказательство.

Пусть - шаровая окрестность точки . Покажем, что существует прямоугольная окрестность этой точки такая, что , т.е. для следует: .

Если , то и , для этого достаточно взять .

Наоборот, пусть задана прямоугольная окрестность точки , покажем, что существует шаровая окрестность такая, что , т.е. для имеет место . Для этого достаточно взять . Действительно, тогда , и .

Пример 1. Доказать, что у любых двух различных точек прямой существуют непересекающиеся окрестности.

Рассмотрим произвольные вещественные числа Положим . Тогда -окрестность точки представляет собой интервал или , а -окрестность точки есть интервал , т.е. . Так как (ведь ), то полученные окрестности являются непересекающимися.

Пример 2. Найти наибольшую - окрестность точки , в которой: а) ; б) .

а) , если . Точка также лежит в указанном интервале, причём минимальное расстояние этой точки от границ интервала равно 1. Полагая , мы получим следующую - окрестность точки , в которой выполнено заданное условие: . Итак, .

б) , если . Точка принадлежит промежутку . Полагая , в качестве -окрестности точки получим следующий интервал: или .

Определение 12. Окрестностью бесконечно удалённой точки на прямой называется множество точек прямой, удалённых от начала координат на расстояние, большее числа

;

; .

Пример 3. Привести окрестности несобственных элементов плоскости.

Каждая из этих окрестностей является прямым произведением соответствующих окрестностей точек прямой. Поэтому:

;

;

.

Определение 13. Прямой в пространстве называется множество точек , удовлетворяющих уравнению: , где - вещественное, , - постоянные векторы, причём хотя бы одно . В координатной форме: , .

Определение 14. Отрезком в пространстве называется множество точек , удовлетворяющих уравнению , где , и - постоянные векторы и хотя бы одно . Точка называется началом отрезка, а точка - концом отрезка.

Определение 15. Ломаной в пространстве называется множество точек , состоящее из конечного числа отрезков – звеньев ломаной, причём начало каждого последующего отрезка, совпадает с концом предыдущего.

Определение 16. Ломаная в пространстве называется замкнутой, если конец её последнего отрезка совпадает с началом первого.

Определение 17. Точка называется внутренней точкой множества , если существует некоторая окрестность этой точки, целиком принадлежащая множеству .

Определение 18. Точка называется внешней точкой множества , если существует некоторая окрестность этой точки, целиком лежащая вне множества .

Определение 19. Множество называется открытым, если каждая его точка внутренняя.

На прямой интервал будет открытым множеством, а отрезок не является открытым множеством, так как любая окрестность точек и не будет принадлежать данному отрезку. Шар и прямоугольник – открытые множества, сфера – не является открытым множеством, ибо каждая её точка не имеет окрестности, включённой в эту сферу.

Пространство - открытое множество, ведь любая окрестность каждой его точки принадлежит этому пространству. Пустое множество признаётся открытым по соглашению.

Отметим, что множество внешних точек любого множества есть открытое множество.

Пример 4. Доказать, что объединение семейства открытых множеств , есть открытое множество.

Рассмотрим объединение открытых множеств , и выберем произвольную точку из этого множества: . По определению объединения множеств найдётся хотя бы одно множество такое, что , . Но множество открытое, т.е. существует такая окрестность , что , а значит . Следовательно, множество открытое.

Пример 5. Дано семейство открытых множеств . Найти множество . Будет ли это множество открытым?

Очевидно: . Данное множество не является открытым. Следовательно, пересечение семейства открытых множеств может и не быть открытым множеством.

Определение 20. Множество называется связным, если любые его две точки можно соединить ломаной, целиком лежащей в .

Определение 21. Связное открытое множество называется областью.

Определение 22. Область называется выпуклой, если любые её две точки можно соединить отрезком, целиком лежащим в области .

Определение 23. Точка называется граничной точкой множества , если в любой окрестности этой точки найдутся как точки из множества , так и точки, ему не принадлежащие.

Определение 24. Множество граничных точек множества называется границей этого множества и обозначается .

Определение 25. Точка называется предельной точкой множества или точкой сгущения, если в любой окрестности этой точки содержится по крайней мере одна точка из множества , отличная от самой точки .

Пример 6. Доказать, что в любой окрестности предельной точки множества содержится бесконечно много точек множества , отличных от точки .

Предположим, что существует некоторая окрестность точки , содержащая лишь конечное число точек множества : . Положим .

Тогда в окрестности этой точки не содержится ни одной точки множества , кроме , вопреки определению предельной точки.

Заметим, что предельная точка множества может как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать.

Определение 26. Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

Пример 7. Даны два бесконечных множества точек на прямой: , .

Определить, являются ли эти множества замкнутыми.

Множества и имеют две предельных точки: и .

Действительно, в любой окрестности точки есть точки , где , из данных множеств, отличные от . Аналогично, в каждой окрестности точки : содержатся точки множеств и - , где , отличные от самой точки . Следовательно, множество замкнуто, ибо содержит все свои предельные точки, множество не является замкнутым.

Отметим, что граница любого множества является замкнутым множеством, например, сфера в пространстве - замкнутое множество.

Как уже отмечалось, прямоугольник и шар - открытые множества, так как точки границы, являющиеся предельными точками этих множеств, им не принадлежат. Замкнутый прямоугольник – множество точек из , удовлетворяющих условиям: , т.е. .

Замкнутый шар: .

Теорема. Множество является замкнутым тогда и только тогда, когда его дополнение является открытым множеством.

Пример 8. Доказать, что пересечение семейства замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Пусть для множество замкнуто. Тогда согласно теореме его дополнение открыто. Используя закон де Моргана, получим: . Множество есть открытое множество, как показано в примере 4. Следовательно, множество также открытое, а тогда согласно теореме множество замкнуто.

Определение 27. Точка называется изолированной точкой множества , если существует окрестность точки , в которой нет других точек множества , кроме точки .

Из определений следует, что внутренние точки данного множества являются его предельными точками, граничные точки могут быть или предельными, или изолированными, а внешние точки – не являются предельными.

Рассмотрим множество на прямой . Каждая точка этого множества является изолированной точкой.

Определение 28. Множество называется ограниченным, если оно может быть целиком заключено в некоторый шар радиуса .

Определение 29. Расстоянием между двумя множествами и называется точная нижняя грань расстояний между любыми двумя точками и : .

Определение 30. Диаметром множества называется точная верхняя грань расстояний между любыми двумя точками и множества .

Упражнения для самостоятельной работы

1. Может ли множество, состоящее только из изолированных точек, иметь предельные точки?

2. Пусть - подмножество множества . Обозначим: - множество предельных точек множества , - замыкание , - множество граничных точек . Привести примеры множества , удовлетворяющего соотношению:

1) ; 2) и ; 3) и ;

4) и ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

3. Доказать, что для любого множества имеем .

4. Доказать, что если , то оно не содержит изолированных точек.

5. Является ли замкнутым множеством множество рациональных точек отрезка ?

6. Найти множество предельных точек множества рациональных чисел.

7. Привести пример множества, не являющегося ни замкнутым, ни открытым.

8. Найти множество предельных точек множества иррациональных чисел, больших, чем 2.

9. Привести пример множества, являющегося одновременно открытым и замкнутым.

10. Доказать, что изолированная точка множества является его граничной точкой.

11. Доказать, что если предельная точка не принадлежит множеству, то она является его граничной точкой.

12. Доказать, что .

13. Доказать, что .

14. Доказать, что пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

15. Доказать, что каждая точка множества является либо его внутренней, либо его граничной точкой.

16. Доказать, что граница множества и его дополнения совпадают: .

17. Доказать, что множество замкнуто тогда и только тогда, когда .

Указание: использовать метод доказательства от противного.

18. Доказать, что объединение конечного множества замкнутых множеств есть замкнутое множество.

19. Доказать теорему: множество является замкнутым тогда и только тогда, когда его дополнение является открытым множеством.

20. Доказать, что у любых двух различных точек и множества существуют непересекающиеся окрестности.

21. Используя кванторы и , записать с помощью неравенств:

1) множество ограничено; 2) множество не ограничено.