С фиктивной переменной

№ опыта	х 0	х 1	х 2	y
	+1	–1	–1	y 1
	+1	–1	+1	y 2
	+1	+1	–1	y 3
	+1	+1	+1	y 4

Так, значение коэффицента b ₁ определяется выражением

. (10.15)

Если ввести в рассмотрение эффект парного взаимодействия, то уравнение регрессии примет вид

. (10.16)

Для нахождения коэффициента b ₁₂ необходимо расширить матрицу планирования, представленную в табл. 9, добавив в нее столбец x ₁ x ₂, характеризующий эффект взаимодействия (табл. 10).

Таблица 10

Расширенная матрица планирования ПФЭ типа 2²

№ опыта	х 0	х 1	х 2	х 1 х 2	y
	+1	-1	-1	+1	y 1
	+1	-1	+1	-1	y 2
	+1	+1	-1	-1	y 3
	+1	+1	+1	+1	y 4

Значения фактора взаимодействия в безразмерном масштабе определяются произведением соответствующих значений факторов x ₁ и x ₂:

. (10.17)

Коэффициент b ₁₂ определяется так же, как и линейные эффекты:

. (10.18)

ЛЕКЦИЯ 11

Матрица планирования ПФЭ 2³. Проверка значимости коэффициентов и адекватности уравнения регрессии, полученных при обработке результатов ПФЭ 2² и 2³. Дробный факторный эксперимент. Планы типа 2 ^{k ‑1}.

11.1. Матрица планирования полного факторного

эксперимента типа 2³

Рассмотрим планирование ПФЭ типа 2³, при котором исследуется влияние на результат опыта уже трех факторов. При реализации такого ПФЭ требуется выполнить N = 8 опытов. Проведем кодирование факторов по уравнениям (10.11) – (10.12). План проведения опытов представлен в табл. 11, геометрически в безразмерном масштабе он может быть интерпретирован в виде восьми вершин куба (рис. 2).

Таблица 11

Полный факторный эксперимент 2³

№ опыта	Факторы в безразмерном масштабе	Выход продукта, y
x 1	x 2	x 3
	–1	–1	–1	y 1
	+1	–1	–1	y 2
	–1	+1	–1	y 3
	+1	+1	–1	y 4
	–1	–1	+1	y 5
	+1	–1	+1	y 6
	–1	+1	+1	y 7
	+1	+1	+1	y 8

Уравнение регрессии с учетом эффектов взаимодействия факторов запишется в следующем виде:

, (11.1)

где коэффициенты b ₁₂, b ₁₃ и b ₂₃ характеризуют эффекты парного взаимодействия, b ₁₂₃ — эффект тройного взаимодействия.

Для нахождения коэффициентов уравнения (11.1) необходимо составить расширенную матрицу планирования ПФЭ с фиктивной переменной, представленную в табл. 12.

Рис. 2. Полный факторный эксперимент 2³

Таблица 12

Расширенная матрица планирования ПФЭ типа 2³

№	x 0	x 1	x 2	x 3	x 1 x 2	x 1 x 3	x 2 x 3	x 1 x 2 x 3	y
	+1	–1	–1	–1	+1	+1	+1	–1	y 1
	+1	+1	–1	–1	–1	–1	+1	+1	y 2
	+1	–1	+1	–1	–1	+1	–1	+1	y 3
	+1	+1	+1	–1	+1	–1	–1	–1	y 4
	+1	–1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	y 5
	+1	+1	–1	+1	–1	+1	–1	–1	y 6
	+1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	–1	y 7
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	y 8

Как и при ПФЭ 2², коэффициенты уравнения регрессии (11.1) определяются скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец факторов или их взаимодействий в безразмерном масштабе, деленным на число опытов в матрице планирования (см. уравнения (10.14) и (10.18)).

Так, например, коэффициент b ₁₂₃ рассчитывается по следующему выражению:

. (11.2)

11.2. Проверка значимости коэффициентов и адекватности

уравнения регрессии, полученных при обработке

результатов ПФЭ 2² и 2³

Для оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии и проверки адекватности уравнения эксперименту достаточно провести серию параллельных опытов, выполненных при каком-то одном сочетании факторов.

Пусть в центре плана (в точках и для ПФЭ 2² и 2³ соответственно) проведена серия из m опытов. Тогда выборочная дисперсия воспроизводимости, характеризующая влияние случайных факторов, равна

, (11.3)

где — результат u -го опыта (u = 1, 2, …, m), — среднее значение серии опытов. В математической статистике доказывается, что для спланированных экспериментов все коэффициенты уравнений регрессии определяются с одинаковой точностью, равной

. (11.4)

Значимость коэффициентов проверяется по критерию Стъюдента. В условиях нулевой гипотезы Н ₀: b _j = 0; отношение абсолютной величины коэффициента к его ошибке имеет распределение Стъюдента. Для каждого коэффициента определяется t ‑отношение:

, (11.5)

которое сравнивается с табличным значением критерия Стъюдента t_p (f ) для выбранного уровня значимости р (обычно 0,05) и числа степеней свободы f = m – 1. Если для рассматриваемого коэффициента t_j > t_p (f ), то он значимо отличается от нуля. Выборочные коэффициенты, для которых t_j £ t_p (f ), незначимы, и их следует исключить из уравнения регрессии.

Допустим, при проверке значимости коэффициентов уравнения (11.1) оказалось, что все коэффициенты, характеризующие эффекты взаимодействия факторов, незначимы. После их исключения получаем линейное уравнение регрессии

, (11.6)

при этом значения b₀, b₁, b₂ и b₃ не требуется вычислять заново из-за того, что коэффициенты уравнения некоррелированы между собой. В отличие от классического регрессионного анализа, исключение незначимого коэффициента не сказывается на величинах остальных коэффициентов уравнения регрессии, а сами выборочные коэффициенты, полученные при реализации ПФЭ, являются несмешанными оценками теоретических коэффициентов.

Адекватность уравнения проверяется по критерию Фишера

, (11.7)

Дисперсия адекватности (остаточная дисперсия) равна

, (11.8)

где l — число значимых коэффициентов (для рассматриваемого случая l = 4). Уравнение адекватно описывает эксперимент, если

, (11.9)

где F _{1- p} (f ₁, f ₂) — табличное значение критерия Фишера для р = 0,05 и чисел степеней свободы f ₁ = f _ад = N – l и f ₂ = f _воспр = m – 1.

Рассмотрим также схему проведения регрессионного анализа для спланированного эксперимента в случае, когда каждый опыт в матрице планирования повторялся m раз. В качестве примера используем ПФЭ 2³; при получении уравнения регрессии ограничимся линейным приближением (уравнение (11.6)). Матрица планирования такого эксперимента представлена в табл. 13.

Для каждого сочетания уровней факторов определяется среднее значение измеряемой величины и выборочная дисперсия:

, (11.10)

. (11.11)

Таблица 13

Матрица планирования ПФЭ 2³ в условиях линейной модели