Распределение молекул по скоростям

Скорость каждой молекулы, участвующей в хаотическом движении, как и любая векторная величина, характеризуется направлением и абсолютным значением. И то, и другое у каждой молекулы свое, и, кроме того, меняется после каждого удара. Модуль скорости может быть выражен через его проекции (рис. 6.8.) следующим образом:

.

(6.54)

Значит, вероятность того, что модуль скорости будет иметь определенное значение, зависит от вероятностей иметь выбранные определенные значения ее проекций, то есть будет вероятностью сложного события. В случае независимых событий вероятность сложного события равна произведению вероятностей простых событий:

dw 1 = dwxdwydwz.

(6.55)

Поскольку вероятности простых событий можно найти по известным теперь нам функциям распределения:

; ; ,

(6.56)

то вероятность того, что модуль скорости приобретет выбранное нами значение, будет определяться выражением:

.

(6.57)

Произведение дает объем d w бесконечно малого кубика, в который упирается конец вектора скорости, а произведение функций распределения можно заменить произведением их значений:

.

(6.58)

С учетом выражения (6.54) получим:

.

(6.59)

Индекс 1 введен потому, что полученная нами вероятность dw ₁ характеризует возможность появления молекулы c выбранной нами абсолютной величиной скорости при одном, фиксированном ее направлении. В действительности же направление движения молекулы меняется, то есть скорость ее должна быть изображена не одним вектором, как на рис. 6.8, а их совокупностью, как на рис. 6.9.

В этом случае концы векторов образуют сферу радиусом u, а если скорости задать приращение d u, сфера будет чуть большего радиуса u + d u. Между двумя сферами образуется слой толщиной d u. Если вероятность dw ₁ пропорциональна объему d w, то теперь, когда совокупность всех возможных векторов скорости упирается в сферический слой, она должна быть пропорциональна объему этого слоя. Радиус слоя равен u, значит объем его равен 4 pu²d u и вероятность

.

(6.60)

Эта вероятность больше, нежели dw ₁ по вполне понятным причинам: она характеризует вероятность найти молекулу с выбранной величиной скорости, летящую не в одном определенном, а в любом произвольном направлении.

Полученное соотношение дает нам искомую функцию распределения молекул по скоростям. Ею будет все выражение в правой части равенства (6.60, стоящее перед интервалом d u случайной величины.

В итоге мы имеем теперь три функции распределения: первая найдена подбором в соответствии с двумя условиями (см. вывод уравнения (6.41)); вторая и третья – как коэффициенты пропорциональности между вероятностью dw и соответствующим интервалом d u случайной величины в уравнениях (6.59) и (6.60) соответственно. Выпишем их отдельно:

;	(6.61)
;	(6.62)
.	(6.63)

Первые две функции монотонно убывающие, как того и требовало одно из условий при их подборе. Третья функция представлена произведением двух конкурирующих сомножителей: убывающего сомножителя и возрастающего сомножителя u ². Функция в этом случае должна иметь экстремум.