Изображение синусоидальных функций времени в комплексной форме

При расчетах цепей синусоидального тока используют символический метод расчета или метод комплексных амплитуд. В этом методе сложение двух синусоидальных токов заменяют сложением двух комплексных чисел, соответствующих этим токам.
Из курса математики известно, что комплексное число может быть записано в показательной или алгебраической форме:

где с - модуль комплексного числа;
φ- аргумент;
a - вещественная часть комплексного числа;
b - мнимая часть;
j - мнимая единица, j = √-1.

С помощью формулы Эйлера можно перейти от показательной формы записи к алгебраической.

От алгебраической формы записи переходят к показательной форме с помощью формул:

Комплексное число может быть представлено в виде радиус - вектора в комплексной плоскости. Вектор длиной, равной модулю c, расположен в начальный момент времени под углом φ относительно вещественной оси (рис.7.3).

Рис.7.3

Умножим комплексное число на множитель .
Радиус - вектор на комплексной плоскости повернется на угол β.
Множитель называется поворотным.

Если , то вектор, умноженный на , превратится во вращающийся со скоростью ω радиус - вектор.
Выражение называется комплексной функцией времени.
Применительно к напряжению, получим - комплексную функцию времени для напряжения.
- комплексная амплитуда напряжения (исходное положение вектора в комплексной плоскости). Определим, чему равна мнимая часть комплексной функции времени для напряжения.

Мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС) является мнимой частью соответствующей комплексной функции времени.

Замечание. В электротехнике над символами, изображающими комплексные напряжения, токи, ЭДС, принято ставить точку.
Синусоидальные функции времени могут быть представлены векторами в комплексной плоскости, вращающимися против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω. Проекция вектора на мнимую ось изменяется по синусоидальному закону.

Пример.

Сложение синусоидальных токов заменим сложением комплексных амплитуд, соответствующих этим токам.

Амплитуда результирующего тока , начальная фаза - .

Мгновенное значение результирующего тока

.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме:

- закон Ома; (7.4)

- первый закон Кирхгофа; (7.5)

- второй закон Кирхгофа. (7.6)