Уравнение конвективной теплопроводности

(уравнение переноса теплоты в движущейся среде)

Перенос теплоты в неподвижной среде осуществляется только за счет теплопроводности (за счет теплового движения частиц тела). В движущейся среде теплота переносится за счет теплопроводности и конвекции.

Молекулярный перенос теплоты – в неподвижных средах. Конвективный перенос теплоты – перенос теплоты за счет движения макрообъемов вещества.

Рассмотрим бесконечно малую часть пространства в потоке жидкости:

В эту часть пространства тепло поступает за счет теплопроводности – тепловой поток и за счет движения жидкости (конвекции) – тепловой поток

Рисунок 1.9 – Профиль распределения температур: – в неподвижной среде и – в движущейся среде со скоростью .

Тепловой поток за счет молекулярной теплопроводности определяется уравнением Фурье:

Тепловой поток за счет конвективной теплопроводности определяется уравнением:

(1.19)

где – скорость, м/с, которую можно рассматривать как поток, м³/м²∙с;

– удельная теплоемкость жидкости, Дж/кг∙К.

Общий тепловой поток при конвективном и молекулярном переносе теплоты равен сумме двух потоков. В стационарном режиме дивергенция суммарного потока равна нулю.

,

.

Дивергенция и градиент – это дифференциальные операторы. Раскроем скобки.

Так как жидкость несжимаема, то . В итоге для одномерного случая:

Обозначим за коэффициент температуропроводности отношение:

. (1.20)

Коэффициент температуропроводности является физической величиной и характеризует теплоинерционные свойства тела: при прочих равных условиях быстрее нагревается или охлаждается то тело, которое обладает большим коэффициентом температуропарводности.

Таким образом, для одномерного случая уравнение конвективной теплопроводности запишется так:

. (1.21)

Уравнение движения жидкости (уравнение Навье–Стокса)

При течении потока жидкости в нем действуют силы давления, внутреннего трения и тяжести. В соответствии с принципом Даламбера сумма всех действующих в потоке сил равна произведению его массы на ускорение. Поэтому уравнение движения в общем виде записывается так:

.

То есть произведение массы тела на его ускорение (сила инерции) равно сумме всех действующих на него сил. Поскольку в жидкости мы все относим к единице объема, то вместо массы будет плотность (m/v= ), то есть для жидкости:

.

На движущуюся жидкость действуют следующие силы (по оси ):

1) – – сила давления (разность давлений).

2) – – сила разности касательных напряжений.

3) – – по оси .

Таким образом, уравнение движения жидкости для одномерного случая (только по оси ) имеет вид:

. (1.22)

Для других двух осей также можно записать еще два уравнения. Если систему трех уравнений Навье - Стокса дополнить уравнением неразрывности потока, то получим полное описание движения вязкой жидкости. Так как это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, то ее решение возможно только для некоторых частных случаев при ряде упрощающих допущений, например, для ламинарного движения.