Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Вопросы построения и использования эконометрических моделей рассмотрим более подробно на примере линейных регрессионных моделей как в случае парной регрессии (однофакторная модель), так и в случае множественной регрессии (многофакторная модель). Будем рассматривать модели множественной регрессии на примере линейной двухфакторной модели.
Основу математического аппарата для рассматриваемых моделей составляют такие разделы математической статистики, как корреляционный и регрессионный анализ. Для определенности эндогенные переменные в этих моделях будем называть результативными признаками и обозначать их, как и ранее, буквой у, а экзогенные переменные будем называть факторными признаками и обозначать их буквой х. Методы корреляционно-регрессионного анализа позволяют решать три основные задачи: определение формы связи между результативным и факторными признаками, измерение тесноты связи между ними, анализ влияния отдельных факторных признаков. Рассмотрим решение этих задач для указанных видов эконометрических моделей; при этом для наглядности будем иллюстрировать выводы на конкретном примере экономического анализа.
Пример 6.1. В табл. 6.1 представлены статистические данные о расходах на питание y, душевом доходе (x1) и средний размер семьи (x2) для девяти групп семей. Требуется проанализировать зависимость величины расходов на питание от величины душевого дохода и размера семьи, т.е. построить модель =f(x1,x2).
Расходы на питание будем считать результативным признаком, который обозначим у, тогда два других фактора будут независимыми признаками, или факторами, и мы их обозначим соответственно, x1 и х2.
Таблица 6.1. Исходные данные для построения эконометрической модели
Номер группы | Расход на питание (у) | Душевой доход (x1) | Размер семей (х2) |
1,5 | |||
2,1 | |||
2,7 | |||
3,2 | |||
3,4 | |||
3,6 | |||
3,7 | |||
4,0 | |||
3,7 |
Рассмотрим сначала однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (x1). Она выражается линейной функцией вида
, | (6.2) |
параметры которой а0 и а1 находятся в результате решения системы уравнений, формирующейся, как уже отмечалось в анализе временного ряда, на основе метода наименьших квадратов.
Система уравнений для рассматриваемого случая имеет вид
(6.3) |
где суммирование проводится по всем n группам.
Используя данные табл. 6.1, получим систему уравнений
решением которой являются значения а0=549,68 и а1=0,1257. Таким образом, модель имеет вид
= 549,68 + 0,1257x1. | (6.4) |
Уравнение (6.4) называется уравнением регрессии, коэффициент a1 – коэффициентом регрессии. Направление связи между у и x1 определяет знак коэффициента регрессии a1; в нашем случае данная связь является прямой. Тесноту этой связи для однофакторной модели можно охарактеризовать коэффициентом корреляции
. | (6.5) |
Здесь Sy – среднеквадратическое отклонение выборки у из табл.6.1:
, | (6.6) |
–среднеарифметическое значение;
–среднеквадратическое отклонение уравнения (6.4) (СКО адекватности модели) для числа степеней свободы n - 2:
, | (6.7) |
–соответствующее значение расходов на питание, вычисленное по модели (6.4).
В этих формулах, как и ранее, суммирование ведется по всем группам от 1 до n.
Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь. В нашем примере =454070, = 63846,следовательно,
. |
Полученное значение свидетельствует о том, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная.
Величина называется коэффициентом детерминации и показывает долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. В нашем случае = 0,859, это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 86 % изменения расходов на питание.
Коэффициенты регрессии (в рассматриваемом случае это коэффициент а1) нельзя использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак из-за различия единиц измерения исследуемых показателей. Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета-коэффициент.
Коэффициент эластичности для рассматриваемой модели парной регрессии рассчитывается по формуле
. | (6.8) |
Он показывает, на сколько процентов изменяется результативный признак у при изменении факторного признака x1 на 1%.
В нашем примере коэффициент регрессии а1 равен 0,1257, а средние арифметические и равны соответственно 6080,6 и 1313,9. Поэтому коэффициент эластичности расходов на питание в зависимости от душевого дохода
. |
Это означает, что при увеличении душевого дохода на 1 % расходы на питание увеличатся на 0,58 %.
Бета-коэффициент в нашем случае задается формулой
, | (6.9) |
где и Sy — среднеквадратические отклонения выборки величин x1 и у из табл.6.1, соответственно. Для нашего примера .
Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (x1) и размера семей (х2). Как уже отмечено выше, множественный (многофакторный) корреляционно-регрессионный анализ решает три задачи: определяет форму связи результативного признака с факторными, выявляет силу этой связи и устанавливает влияние отдельных факторов. В нашем случае эта модель имеет вид
= а0 + a1x1 + а2х2. | (6.10) |
Параметры модели а0,, a1 и а2 находят при помощи системы уравнений:
(6.11) |
Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные коэффициенты корреляции , , . Например,
, | (6.12) |
где черта над символами означает среднеарифметическую величину, а Sy и Sхi –среднеквадратические отклонения соответствующих выборок y и xi из табл. 6.1.
Аналогичный вид имеют формулы для и .
После этого вычисляют коэффициент множественной корреляции
(6.13) |
который колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к 1, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативней признак.
Величина называется совокупным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных призраков.
Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов решается в многофакторных моделях при помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и факторным признаком x1 при неизменном значении факторного признака x2 рассчитывается по формуле
, | (6.14) |
где используются парные коэффициенты корреляции, рассчитываемые по формулам, аналогичным (6.12).
Аналогичная формула имеет место для частного коэффициента корреляции между результативным признаком у и факторным признаком х2 при неизменном значении факторного признака x1.
Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора.
Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели (6.10) рассчитываются по формулам
; . | (6.15) |
Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множественной регрессии можно сделать на основе расчета частных бета-коэффициентов, которые для двухфакторной модели (6.10) задаются формулами
; . | (6.16) |
Частные бета-коэффициенты показывают, на какую долю своего среднеквадратического отклонения изменится в среднем результативный признак при изменении одного из факторных признаков на величину его среднеквадратического отклонения и неизменном значении остальных факторов.
Дата публикования: 2014-10-30; Прочитано: 488 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!