Приклад. Середня арифметична має деякі математичні властивості, що мають е стимуля значення

Розрахувати середню собівартість продукції.

Продуктивність праці, од./люд.	Середина інтервалу (X)	Чисельність робітників, люд. (f)	Кількість продукції, од. (X*f)
200-204
204-208
208-212
212-216
216-220
220-224
224-228
Разом	х

Середня арифметична має деякі математичні властивості, що мають е стимуля значення. Найважливіші з них такі:

1) Якщо всі варіанти збільшити або зменшити на одне й теж число (А), то й середня арифметична збільшиться (зменшиться) на теж число (А):

2) Якщо всі варіанти збільшити або зменшити в одне й теж число (В) раз, то й середня арифметична відповідно збільшиться (зменшиться) в (В) раз:

4.
. Якщо всі частоти (ваги) поділити або помножити на яке-небудь число (К), то середня арифметична від цього не зміниться:

4.
. Алгебраїчна сума відхилень окремих варіант ознаки від середньої дорівнює нулю:

,

тобто в середній взаємно компенсуються додатні та від’ємні відхилення окремих варіант.

5) Сума квадратів відхилень окремих варіант ознаки від середньої менша, ніж від будь-якої іншої величини:

Використання першої і другої властивостей середньої арифметичної дозволяє значно спростити її обчислення. Цей метод в статистиці називають методом моментів, або метод відліку від умовного нуля. Розглянемо спрощений спосіб обчислення середньої арифметичної методом моментів за даними попереднього прикладу.

Продуктивність праці, од./люд.	Середина інтервалу (X)	Чисельність робітників, люд. (f)	Скорочені варіанти	Зважені скорочені варіанти
Х-А А=206	К=4
200-204			-4	-1	-10
204-208
208-212
212-216
216-220
220-224
224-228
Разом	х		х	х

Формула для знаходження середньої арифметичної способом моментів має вигляд:

,

де – момент першого порядку.

Визначимо момент першого порядку:

Підставляємо значення в формулу:

Отже, було отримано той самий результат, що й при обчисленні за звичайною формулою середньої арифметичної зваженої.