Векторный потенциал магнитного поля

Векторный потенциал магнитного поля – это векторная величина, плавно изменяющаяся от точки к точке, ротор которой равен магнитной индукции

(17.13)

Основанием для представления индукции в виде ротора от вектора-потенциала служит то, что дивергенция любого ротора тождественно равна нулю, т.е.

Если вектор-потенциал как функция координат известен, то индукцию в любой точке поля определяют путем нахождения ротора от вектора-потенциала в соответствии с (17.13). Векторным потенциалом можно пользоваться и для областей, занятых током.

Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плотностью тока в этой же точке уравнением Пуассона.

Умножим обе части (17.6) на m_a. Если магнитная проницаемость постоянна, то ее можно внести под знак ротора:

(17.14)

rot rot A = [V[VA]] = grad div A - V²A = m_ad

Так как есть расчетная функция, то в магнитном поле постоянного тока ее можно подчинить требованию:

(17.15)

Это требование означает, что линии вектора есть замкнутые сами на себя линии.

(17.16)

Уравнение (17.16) представляет собой уравнение Пуассона. В отличие от уравнения (13.21), составленного относительно скалярной величины j, уравнение (17.16) составлено относительно векторной величины . Общее решение по аналогии может быть записано:

(17.17)

Единицей измерения является В×с/м. Формула (17.17) дает общее решение уравнения (17.16). Вектор в любой точке поля можно определить вычислением объемного интеграла (17.17). Последний должен быть взят по всем областям, занятым током. Следует отметить, что взятие интеграла правой части формулы (17.17) сопряжено обычно со значительными математическими выкладками.

Выражение магнитного потока через циркуляцию вектора-потенциала

Магнитный поток, пронизывающий какую-либо поверхность:

(17.7)

На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть преобразован в линейный

(17.18)

Для определения магнитного потока, пронизывающего некоторую площадь (поверхность) s, необходимо подсчитать циркуляцию вектора потенциала по замкнутому контуру, на который опирается поверхность s.

Определение потока по (17.18) часто имеет преимущества по сравнению с определением потока через магнитную индукцию (17.7). Соотношением (17.7) можно пользоваться в том случае, когда известно значение в любой точке поверхности s, тогда как для вычисления потока с помощью соотношения (17.18) достаточно знать значение на контуре и не требуется значения в точках внутри контура.

Рассмотрим граничные условия для векторного потенциала.

(17.19)