Соотношение между проводимостью и емкостью

Если какие-либо электроды поместить в проводящую среду и присоединить к источнику ЭДС, то по проводящей среде идет ток. Проводимость между электродами равна

В свою очередь:

Проводимость

(16.13)

C другой стороны в электростатическом поле с электродами такой же конфигурации емкость между двумя частями электродов, на которых расположены одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды Q равна:

(16.14)

Учтено, что

Если разделить (16.14) на (16.13), то можно получить:

(16.15)

Выражение (16.15) позволяет по известному выражению емкости между какими-либо телами получить выражение для проводимости и наоборот.

Так, например, емкость двухпроводной линии:

(16.16)

где: l – длина проводов, d – расстояние между осями, r – радиус провода.

Чтобы получить выражение для проводимости между двумя параллельными проводами, погруженными в среду с проводимостью g, надо в (16.15) заменить e_a на g:

43. Скалярный потенциал магнитного поля

Вихревыми принято называть поля, в которых ротор векторной величины, описывающей поле, отличен от нуля. Так, для магнитного поля постоянного тока , поэтому во всех точках пространства, где , поле вектора является вихревым. В областях пространства, где J = 0, , магнитное поле можно рассматривать как потенциальное, т.е. как такое поле, каждая точка которого имеет скалярный магнитный потенциал .

(17.10)

Так как , то при m_a = const

(17.11)

Скалярный потенциал магнитного поля подчиняется уравнению Лапласа.

Разность скалярных магнитных потенциалов между точками 1 и 2 называют падением магнитного напряжения между точками 1 и 2. 45 Векторный потенциал магнитного поля

Векторный потенциал магнитного поля – это векторная величина, плавно изменяющаяся от точки к точке, ротор которой равен магнитной индукции

(17.13)

Основанием для представления индукции в виде ротора от вектора-потенциала служит то, что дивергенция любого ротора тождественно равна нулю, т.е.

Если вектор-потенциал как функция координат известен, то индукцию в любой точке поля определяют путем нахождения ротора от вектора-потенциала в соответствии с (17.13). Векторным потенциалом можно пользоваться и для областей, занятых током.

Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плотностью тока в этой же точке уравнением Пуассона.

Умножим обе части (17.6) на m_a. Если магнитная проницаемость постоянна, то ее можно внести под знак ротора:

(17.14)

rot rot A = [V[VA]] = grad div A - V²A = m_ad

Так как есть расчетная функция, то в магнитном поле постоянного тока ее можно подчинить требованию:

(17.15)

Это требование означает, что линии вектора есть замкнутые сами на себя линии.

(17.16)

Уравнение (17.16) представляет собой уравнение Пуассона. В отличие от уравнения (13.21), составленного относительно скалярной величины j, уравнение (17.16) составлено относительно векторной величины . Общее решение по аналогии может быть записано:

(17.17)

Единицей измерения является В×с/м. Формула (17.17) дает общее решение уравнения (17.16). Вектор в любой точке поля можно определить вычислением объемного интеграла (17.17). Последний должен быть взят по всем областям, занятым током. Следует отметить, что взятие интеграла правой части формулы (17.17) сопряжено обычно со значительными математическими выкладками.

Выражение магнитного потока через циркуляцию вектора-потенциала

Магнитный поток, пронизывающий какую-либо поверхность:

(17.7)

На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть преобразован в линейный

(17.18)

Для определения магнитного потока, пронизывающего некоторую площадь (поверхность) s, необходимо подсчитать циркуляцию вектора потенциала по замкнутому контуру, на который опирается поверхность s.

Определение потока по (17.18) часто имеет преимущества по сравнению с определением потока через магнитную индукцию (17.7). Соотношением (17.7) можно пользоваться в том случае, когда известно значение в любой точке поверхности s, тогда как для вычисления потока с помощью соотношения (17.18) достаточно знать значение на контуре и не требуется значения в точках внутри контура.

Рассмотрим граничные условия для векторного потенциала.

44. В магнитном поле постоянного тока выполняются следующие граничные условия:

(17.12)

На границе раздела двух однородных и изотропных сред, различных в магнитном отношении (различные m _r) равны тангенциальные составляющие векторов напряженности магнитного поля и нормальные составляющие магнитных индукций на границе раздела.

Условие (17.12) не выполняется, если на поверхности раздела двух сред протекает так называемый поверхностный ток. Под ним понимают ток, протекающий по бесконечно тонкому плоскому проводнику, положенному на границе раздела.