Теоретические сведения. Пусть задана система линейных алгебраических уравнений

Пусть задана система линейных алгебраических уравнений

или в матричном виде .

Необходимо исходную систему уравнений привести к виду, удобному для итераций. Очень просто преобразуется к нужному виду система в случае, если диагональные элементы матрицы А, составленной из коэффициентов при неизвестных, значительно преобладают над остальными элементами. Пусть выполняются неравенства

(5)

Делим каждое уравнение системы (5) на диагональный элемент () и находим (), т.е. разрешаем первое уравнение относительно , второе относительно и.т.д. Легко проверить, что полученная таким образом система уравнений удовлетворяет достаточному условию сходимости метода простой итерации и метода Зейделя.

Если же диагональные элементы матрицы А не преобладают над остальными элементами, из заданной системы выделим уравнения с коэффициентами, модули которых больше суммы модулей остальных коэффициентов уравнения. Каждое выделенное уравнение вписываем в такую строку новой системы, чтобы наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным. Из оставшихся неиспользованных и выделенных уравнений системы составляем линейные комбинации так, чтобы получить недостающие уравнения, причем диагональные коэффициенты по модулю должны быть больше суммы модулей всех остальных коэффициентов.

Необходимо, что бы при составлении новой системы использовалось каждое уравнение заданной (первоначальной) системы. Полученная таким образом система имеет матрицу с преобладающими диагональными элементами и к ней применимы описанные выше преобразования.

ПРИМЕР. Привести систему

к виду, пригодному для применения метода итерации и метода Зейделя. Найти приближенное решение системы с помощью метода простой итерации и метода Зейделя с погрешностью 0,001.

Получим систему с преобладающими диагональными коэффициентами. Для этого первым уравнением возьмем второе, третьим – первое, а вторым – сумму первого с третьим:

Разделим каждое уравнение на его диагональный коэффициент и выразим из каждого уравнения диагональное неизвестное:

Проверим одно из условий сходимости. Установим ходимость по метрике : максимальной суммой модулей коэффициентов по столбцам будет сумма модулей коэффициентов при . Однако эта сумма не удовлетворяет условию сходимости : .

Замечание. Невыполнение одного из условий еще не означает, что метод простой итераций применить нельзя.

Проверим условие сходимости в пространстве с евклидовой метрикой : сумма квадратов всех коэффициентов при неизвестных в правой части системы должна быть меньше единицы ().

Имеем:

Таким образом, итерационный процесс в евклидовом пространстве сходится. Коэффициент сжатия составляет .

Рекуррентная соотношение для итерационного процесса метода простой итерации имеет вида:

Для итерационного процесса метода Зейделя используем систему вида:

Итерационный процесс прекращается при выполнении неравенства

().

Варианты лабораторных работ

№
a11	1,21	5,96	2,87	6,62	2,00	1,25	0,75	3,58	2,70	7,44	1,26	1,11	3,40	1,08	1.17
a12	-4,05	1,40	-2,67	-2,65	2,30	2,25	1,23	2,77	2,61	-2,46	4,20	-4,83	2,82	-3,50	4,19
a13	2,11	5,03	-2,85	-2,45	1,93	-3,75	-3,19	2,34	3,24	2,74	-1,97	2,15	2,82	1,90	-1,77
a14	4,25	-7,41	-2,14	-2,57	2,15	2,00	1,79	-1,91	3,05	-3,05	4,21	-5,01	3,01	4,15	4,25
a21	0,75	2,99	3,55	5,21	3,45	1,75	3,48	5,21	2,48	5,41	0,71	1,75	4,18	3,01	1,39
a22	1,21	1,25	0,71	-0,21	-0,58	-3,25	1,61	-2,13	-0,18	-1,25	-1,91	2,16	1,25	-0,15	-1,45
a23	-3,21	-0,38	-1,25	2,13	1,21	2,05	1,95	0,49	1,71	2,01	3,88	-5,01	0,95	5,41	-4,60
a24	-7,42	4,48	-0,95	2,17	1,55	-1,80	4,95	3,42	2,55	2,57	-2,00	2,25	-1,15	-1,27	-1,55
а31	2,27	1,05	1,13	1,15	1,25	2,35	0,46	1,17	1,20	1,15	2,20	2,43	1,71	0,06	4,06
а32	5,66	-3,57	-4,81	4,21	4,21	1,25	-5,26	3,90	3,48	3,81	-4,79	5,52	-3,95	-1,70	-5,42
а33	-3,06	1,92	2,14	-1,75	-1,95	1,85	5,32	-2,14	-0,97	-0,92	3,16	-3,39	0,25	5,79	3,88
а34	10,51	-15,14	1,32	-1,90	2,10	6,70	14,71	15,40	1,35	-1,15	-5,01	5,21	0,57	13,18	-6,01

№
a11	1,21	1,10	1,13	1,70	2,51	2,40	1,42	1,72	5,39	3,44	0,80	-2,42	1,24	6,21	4,42
a12	3,49	3,80	3,92	-3,94	-0,20	-1,15	-1,45	2,10	-1,24	-0,60	-1,61	3,17	-2,37	-4,52	12,64
a13	-0,99	-0,93	-2,17	0,26	1,75	4,50	-4,61	-4,95	2,03	1,19	-3,76	8,45	3,48	5,16	-5,77
a14	3,75	4,20	14,21	1,85	2,15	0,09	1,56	2,01	4,98	3,60	-1,75	3,07	-3,17	5,24	-1,56
a21	1,50	2,03	2,41	0,78	1,52	6,38	2,56	3,51	2,03	0,74	2,19	1,18	0,76	-7,49	0,16
a22	-0,87	-1,21	-1,13	-1,57	-0,90	1,77	2,77	0,75	-1,24	-1,90	1.26	-2,14	4,21	5,34	-3,82
a23	4,21	4,75	4,48	3,77	4,23	-1,65	6,33	-1,28	-4,72	3,90	-0,94	-4,11	-2,25	-4,16	6,41
a24	-1,05	-1,28	10,52	0,95	4,35	13,81	2,85	3,61	2,42	0,85	1,29	-1,38	2,44	-5,86	4,42
а31	1,28	4,26	4,04	5,89	2,72	5,25	5,18	4,67	3,18	5,45	0,93	4,46	8,84	4,15	-7,14
а32	-3,66	-5,06	-6,03	-2,70	2,61	-2,15	-1,25	-4,10	2,60	1,72	-2,38	6,45	0,96	-9,48	4,98
а33	2,68	2,93	2,63	-0,71	3,24	0,50	2,16	0,89	-5,67	3,14	4,02	8,17	5,27	9,20	-8,73
а34	-3,91	-4,85	-13,02	5,52	3,58	11,41	6,21	4,55	3,52	5,05	-2,50	3,95	3,06	1,71	-2,67

Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы 2002

2. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике 1990

3. Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы в примерах и задачах 2006

Учебное издание

Бурнышева Татьяна Витальевна