Баланс мощностей

В соответствии с законом сохранения энергии в любой электрической цепи должен выполняться баланс мощностей: мощность, генерируемая источниками, равна мощности потребляемой всеми приемниками.Уравнение баланса мощностей при питании только от источника ЭДС имеет вид

. (12)

Если направление тока I в ветви совпадает с направлением ЭДС, то произведение Е∙I входит в уравнение (12) со знакос плюс, в противном случае – со знаком минус.

Пример 1.

Для схемы, изображенной на рис. 3, выполнить следующее:

1. Составить системы уравнений по первому и второму законам Кирхгофа.

2. Составить уравнения методом узловых потенциалов и методом контурных токов.

3. Определить токи в ветвях схемы, решив уравнения, составленные в п.2.

4. Составить баланс мощностей.

5. Построить потенциальную диаграмму для контура, содержащего вольтметр.

6. Определить показания вольтметра.

Параметры элементов схемы:

Е₁ = 36 В; Е₂ = 10 В; Е₃ = 25 В; R₁ = 4 Ом; R₂ = 8 Ом; R₃ = 3 Ом; R₄ = 10 Ом;

R₅ = 2 Ом; R₆ = 7 Ом.

Решение

1. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа. Количество независимых уравнений К_I = У - 1, где У – количество узлов в схеме.

В рассматриваемой схеме 4 узла, значит К_I = 3. Направления токов в ветвях схемы показано на рис.4.

узел 1: I₂ – I₃ + I₄= 0

узел 2: -I₄ + I₅ + I₆ = 0. (13)

узел 3: -I₁ + I₃ - I₆ = 0

2. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа. Количество уравнений определяется по формуле:

К_П = В – У +1, где В – количество ветвей в схеме.

Рис. 3

В рассматриваемой схеме 6 ветвей, четыре узла, тогда К_П = 6 – 4 + 1 = 3.

Обозначим контуры I, П, Ш. Примем обход контуров по часовой стрелке (рис.4) и для каждого контура запишем уравнения.

I контур: I₁R₁ + I₅ R₅ - I₆R₆ = E₁

П контур: I₂R₂ - I₄ R₄ – I₅R₅ = –E₂ (14)

Ш контур: I₃R₃ + I₄ R₄ + I₆R₆ = Е₃

3. Составим уравнения методом узловых потенциалов. Примем, что потенциал узла 0 равен нулю (φ ₀ = 0)

φ₁g₁₁ – φ₂g₁₂ – φ₃g₁₃ = – E₂g₂ – E₃g₃

-φ₁g₂₁ + φ₂g₂₂ – φ₃g₂₃ = 0, (15)

φ₁g₃₁ – φ₂g₃₂ + φ₃g₃₃ = – E₁g₁+E₃g₃

где g₁₁ = g₂+ g₃ + g₄; g₁₂ = g₄; g₁₃ = g₃; g₂₂ = g₄ + g₅ + g₆; g₂₁ = g₁₂; g₂₃ = g₆;

g₃₃ = g₁ + g₃ + g₆; g₃₁ = g₁₃; g₃₂ = g_23;

g₁ =

g₃ =

g₅ =

g₁₁ = g₂+ g₃ + g₄ = 0,125 + 0,333 + 1 = 1,458 (См);

g₂₂ = g₄ + g₅ + g₆ = 1 + 0,5 + 0,143 = 1,643 (См);

g₃₃ = g₁ + g₃ + g₆ = 0,25 + 0,333 + 0,143 = 0,726 (См).

Подставим численные значения в систему уравнений (15):

φ₁ ٠1,458 - φ₂ ٠1 - φ₃٠ 0,333 = - 25 ٠0,333- 10 ٠ 0,125

-φ₁ ٠1 + φ₂ ٠1,643 - φ₃٠ 0,143 = 0

-φ₁ ٠0,333 - φ₂ ٠0,143 + φ₃٠ 0,726 = -36 ٠ 0,25+25∙0,333

Запишем систему уравнений в матричной форме:

x =

Применяя метод Крамера, определяем φ₁, φ₂, φ₃:

φ₁ = φ₂ = φ₃ = ,

где ∆ - главный определитель матрицы проводимостей, ∆₁, ∆₂, ∆₃ -определители матриц, полученных путем последовательной заменены столбцов матрицы проводимостей столбцом свободных членов.

Выполнив вычисления, получим:

φ₁ = - 16,563 (В); φ₂ = - 11,012 (В); φ₃ = - 10,696 (В).

Токи в ветвях схемы определим, применяя закон Ома. Для этого зададимся направлением токов в ветвях схемы (рис.4).

I₁ = (φ₃– φ₀ +E₁)g₁ = (-10,696 + 36)٠0,25 = 6,326 (А);

I₂ = (φ₀ – φ₁ - E₂)g₂ = (16,563- 10)٠0,125 = 0,820 (А);

I₃ = (φ₁ – φ₃ + E₃)g₃ = (-16,563 + 10,696 + 25)٠0,333 = 6,37 (А);

I₄ = (φ₂ – φ₁₎g₄ = (-11,012+16,563) ٠ 1 =5,551 (А);

I₅ = (φ₀ – φ₂)g₅ = 11,012٠0,5 = 5,506 (А);

I₆ = (φ₃ – φ₂)g₆ = (-10,696+11,012)∙0,143 = 0,045 (А).

Правильность выполненных решений можно проверить, применяя первый закон Кирхгофа.

Рис.4

4. Составим уравнения, используя метод контурных токов. Обозначим токи в контурах соответственно I₁₁, I₂₂, I₃₃. Примем направление контурных токов по часовой стрелке (рис.4).

I контур: I₁₁ (R₁ + R₅ + R₆) - I₂₂R₅ - I₃₃R₆ = E₁

П контур: -I₁₁R₅ + I₂₂ (R₂ + R₄ + R₅) - I₃₃R₄ = -E_2. (16)

Ш контур: -I₁₁R₆ - I₂₂ R₄ + I₃₃ (R₃ + R₄ + R₆) = Е₃

Подставим численные значения в систему уравнений (16) и запишем уранения в матричной форме:

x =

Используя функцию «MATHCAD 11» lsolve (a,b), получим:

I₁₁ = 6,328 (А); I₂₂ = 0,821 (А); I₃₃ = 6,374 (А).

Токи в ветвях схемы определим через контурные токи:

I₁ = I₁₁ = 6,328 (А); I₂ =I₂₂ == 0,821 (А);

I₃ = I₃₃ = 6,374 (A); I₄ = I₃₃ – I₂₂ = 6,374 – 0,821 = 5,553 (A);

I₅ = I₁₁ – I₂₂ = 6,328 – 0,821 = 5,507 (A); I₆ = I₃₃ - I₁₁=

= 6,374- 6,328= 0,046 (A).

4. Баланс мощностей – это равенство суммарной мощности источников и суммарной мощности приемников электроэнергии.

Определим мощность источников питания:

P_ИСТ = E₁ ٠ I₁ - E₂٠I₂ + E₃٠I₃ = 36٠6,328 - 10٠0,821+25٠6,374 = 378,948 (Вт).

Мощность приемников энергии:

P_ПР = I₁² R ₁+ I₂² R₂ + I₃² R₃ + I₄² R₄ + I₅² R₅ + I₆² R₆ =

= 6,328² ٠4 +0,821² ٠ 8 + 6,374² ٠ 3 + 5,553² ٠1 + 5,507² ٠ 2 +

+ 0,046² ٠7 = 378,954 (Вт).

Как следует из расчетов, баланс мощностей выполняется.

5. Потенциальную диаграмму построим для контура 0, 2, 3, 4, 0 (рис. 5).

Примим потенциал узла 0 равным нулю: φ₀ = 0. Потенциалы других узлов определим по закону Ома:

φ₂ = φ₀ - I₅R₅ = -5,507∙2 =- 11,01 (В);

φ₃ = φ₂ + I₆ R ₆ =- 11,01 +0,046 ٠ 7 = - 10,688 (В);

φ₄= φ₃ +Е ₁ = - 10,688 +366,328 ∙ 4 = 25,312 (В);

φ₀= φ₄ - I₁R ₁ =25,312- 6,328∙ 4 = 0 (В).

Суммарное сопротивление рассматриваемого контура составит:

R = R₅ + R₆ + R₁ = 2 + 7 + 4 = 13 (Ом).

В масштабе по оси абсцисс откладываем сопротивление, а по оси ординат значение потенциалов в узлах контура.

Потенциальная диаграмма приведена на рис. 6.

6. Определим показания вольтметра как разность потенциалов узлов 5 и 4:

V₀₃ = φ₀ - φ₄₃= 0 – (-10,688) = 10,688 (В).

Рис.5

Рис. 6

4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Синусоидальный ток (ЭДС, напряжение) представляет собой ток, изменяю-щийся во времени по синусоидальному закону

(17)

где I_m – амплитуда тока, T – период, f=1/T - частота, (ωt+Ψ₀) – фаза, Ψ₀ – начальная фаза.

Синусоидальный ток (ЭДС и напряжение) принято изображать на комплексной плоскости в виде вектора для момента времени t=0

, (18)

где - комплексная величина, ее модуль равен I_m, а угол, под которым вектор проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равен начальной фазе Ψ₀. В расчетах, обычно, применяют действующие значения синусоидальных величин. Под комплексом действующего значения тока (ЭДС, напряжения) или под комплексом тока, понимают величину, определяемую по формуле

(, ). (19)

В цепях переменного тока кроме активного сопротивления R, имеют место реактивные сопротивления X: индуктивное - X_L и емкостное - X_C. Комплексное поллное сопротивление в алгебраической форме имеет вид

Z = R + јХ_L- јХ_C, (20)

где Х_L =ωL = 2πfL; L - индуктивность; Х_C=1/ ωC=1/ 2πfC; С- емкость конденсатора.

Как и всякий комплекс, Z можно записать в показательной форме. Модуль комплексного сопротивления принято обозначать z. Точку над Z не ставят, так как ее принято ставить над комплексными величинами, которые являются синусоидальными функциями времени. Модуль комплексного сопротивления z можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника сопротив-лений, один катет которого равен R, другой Х (рис. 7), тогда

(21)

Рис.7

Комплексное сопротивление в показательной форме будет имееть вид:

. (22)

Закон Ома и законы Кирхгофа для цепи синусоидального тока в комплексной форме будут иметь вид

; ; . (23)