Хаотическое поведение динамических систем

Динамический хаос – хаотическое поведение динамических систем, которые описываются полностью детерминированными дифференциальными или разностными уравнениями.

Особенность хаотических систем – наличие странных аттракторов (областей притяжения с фрактальной структурой).

Пример: Аттрактор Лоренца. Эдвард Лоренц занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекции в подогреваемом снизу слое. Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений:

, где - безразмерные константы, - управляющий параметр, пропорциональный разности температур верхних и нижних слоев, - переменная, пропорциональная скорости циркулируемого газа, - соответствует разности Т м/д восходящими и нисходящими потоками, - пропорциональна отклонению вертикального профиля Т от равновесного значения. При следующих значениях параметров: σ=10, r=28, b=8/3 система начинает вести себя хаотически.

В результате был открыт странный аттрактор (эффект бабочки).

Теория перколяции. Критические показатели и масштабная инвариантность.

Перколяция (протекание) - скачкообразное изменение свойств материи при превышении определенного порога воздействия.

Теория перколяции (протекания) — теория, описывающая возникновение бесконечных связных структур (кластеров), состоящих из отдельных элементов.

Пример: возникновение протекания электрического тока при увеличении проводников в среде или протекания жидкости при увеличении пористости материала.

Дискретная математическая модель. Частицы среды представляются как вершины графа, имеющие два состояния: «проводящее» и «непроводящее». Смежными считаются соседние вершины, находящиеся в проводящем состоянии. Назначение состояний вершинам происходит в случайном порядке, с одинаковой вероятностью . Совокупность элементов, по которым происходит протекание, называется перколяционным кластером. Порог перколяции - количество элементов перколяционного кластера, отнесенное к общему количеству элементов рассматриваемой среды.

Перколяцией называют момент появления такого состояния решетки, при котором существует хотя бы один непрерывный путь через соседние проводящие узлы от одного до противоположного края.

Критические показатели и масштабная инвариантность

Переход от одной фазы к другой происходит при достижении порога перколяции или критической концентрации. Многие важные характеристики кластера вблизи перехода описываются показательной функцией с различными критическими показателями:

Показатели являются универсальными, не зависящими от вида решетки, типа перколяции, а только от размерности пространства задачи. Критические показатели связаны между собой соотношением , где - размерность пространства. Это соотношение следует из масштабной инвариантности (скейлинга) – неизменности уравнений при изменении всех расстояний в одинаковое число раз.

[1] В базах данных кортежем называется группа взаимосвязанных элементов данных. В реляционных базах данных кортеж — это элемент отношения, строка таблицы; упорядоченный набор из N элементов.