Квадратные матрицы

Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной; одинаковое число n строк и столбцов называется порядком матрицы.

Множество элементов a_ii называется главной диагональю, а матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали есть нули a_ij = 0, если i ¹ j, называется диагональной. если все элементы диагональной матрицы одинаковы a_ii = l, то такая матрица называется скалярной.

Диагональная матрица, все элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается Е_n (или I_n).

или E_n = (d_ij), где i = 1,2,..., n; j = 1,2,..., n; d _ij – символ Кронекера. Единичная матрица E_n представляет собой нейтральный элемент относительно умножения матриц А порядка n: АE_n = E_nА = А.

Сумма и произведение двух матриц n -го порядка всегда определены и результатом будут матрицы порядка n. Однако произведение квадратных матриц не коммутативно: А·В ¹ В·А. Например,

Квадратные матрицы порядка n определяют линейные отображения Рⁿ в Рⁿ, а единичная матрица E_n ассоциируется с системой векторов канонического базиса пространства Рⁿ.