Скалярное произведение двух векторов

ИЗ ПРОСТРАНСТВА Rⁿ

Определение. Рассмотрим отображение φ векторного пространства Rⁿ ´ Rⁿ в R,при котором устанавливается следующее соответствие

,

здесь ; упорядоченная пара (), является элементом векторного пространства Rⁿ ´ Rⁿ; (l ₁, l ₂,..., l_n) и (β ₁, β ₂,..., β_n) компоненты соответственно векторов ; число из R. Такое отображение j называется скалярным произведением двух векторов из пространства Rⁿ и обозначается (,), а само число – () либо .

Отображение j не является линейным отображением. Действительно, так как Rⁿ ´ Rⁿ векторное пространство, то

. Легко показать, что и, следовательно, отображение j не является линейным отображением.

Выясним теперь, как скалярное произведение представляется в пространстве матриц. Пусть даны два вектора Теперь вектору поставим в соответствие матрицу размером 1´ n, а вектору – матрицу размером n ´1. Тогда произведение в пространстве матриц эквивалентно произведению = a ₁ b ₁+ a ₂ b ₂ +... + a_nb_n.

Видно, что и в векторном пространстве матриц отображение j не является линейным отображением