Оценка дисперсии результатов наблюдения

Определения и свойства МНК-оценок и НЛН-оценок, рассмотренные ранее, относились к случаю, когда заранее известна дисперсия каждого измерения величины у. Такая ситуация встречается далеко не всегда. Поэтому рассмотрим методы получения наилучших оценок при заранее неизвестных дисперсиях измерений.

Рассмотрим случай равноточных измерений, когда

(i=1,…,n) (1.23)

Само значение неизвестно. Предполагается, что в точке факторного пространства может быть проведено r_i измерений. Если область действия Х факторного пространства, в которой производятся измерения - невелика, то предположение о равноточности измерений вполне оправдано.

Несмещенной оценкой для дисперсии будет:

(1.24)

где N – общее число измерений, произведенных в n-точках,

m-число неизвестных параметров,

y_i -среднее значение измеренных значений y в точке .

Если область действия широка, то предположение о равноточности измерений недопустимо. Иногда дисперсию измеряемой величины как функцию от удается представить в виде:

где σ² –неизвестная (но постоянная) величина,

- заданная функция, учитывающая неравноточность измерений.

В этом случае:

, где

(1.25)

А несмещенной оценкой для σ² будет:

(1.26)

Если функция неизвестна, т. е. ничего неизвестно о поведении дисперсии, то построить несмещенную оценку, аналогичную (1.24), (1.26) не удается. В этом случае рекомендуется определять оценку дисперсии в точке по формуле:

где y_i – среднее значение измеренной величины у в точке .

При достаточно большой r_i будут близки к НЛН-оценкам.