Оптимизация методики обработки экспериментальной информации

Регрессионный анализ

Планирование экспериментов по выявлению механизмов явлений.

При исследовании автоматической системы необходимо иметь их математические модели.

Применение традиционного метода построения мат. моделей, состоящего в получении уравнений системы на основе рассмотрения физико-химических закономерностей исследуемых процессов, часто оказывается не достаточно эффективным в связи со сложностью и многообразием процессов, протекающих в современных системах управления, недостаточной изученностью явлений, большим количеством элементов и т.д.

Поэтому теоретически построенное математическое описание в значительной мере утрачивает силу при переходе к реальным условиям функционирования. В последние годы все более широкое признание и интенсивное развитие получает иной подход к задаче построения мат. моделей- идентификация управляемых систем. Сущность этого подхода заключается в решении следующей обратной задачи- построение модели на основе обработки экспериментальных данных, собранных непосредственно в процессе функционирования исследуемой системы.

В настоящее время существует много разнообразных методов идентификации. Пригодность того или иного метода идентификации определяются такими особенностями как линейность и нелинейность характеристик, степень выраженности динамических свойств, уровень случайных помех и т. д.

Полученные в процессе идентификации управляемых систем их математические модели могут быть разнообразны. Это могут быть:

стационарные модели, когда выходные и входные величины не зависят от времени;

динамические модели, когда выходная величина изменяется во времени при изменении входной величины;

линейные;

нелинейные;

параметрические, когда выходная величина является функцией какого-либо параметра системы;

непараметрические (например, интегральные).

Задача идентификации включает в себя следующие этапы:

Основные этапы идентификации систем:

определение структуры модели, т.е. определение того, от каких параметров и как зависят выходные величины;

планирование и проведение эксперимента для получения экспериментальной информации об исследуемой системе или явлении;

определение неизвестных параметров модели по экспериментальным данным;

проверка адекватности модели исследуемой системы.

2. Постановка задачи регрессионного анализа.

С помощью регрессионного анализа будем решать задачу идентификации, т.е. задачу получения математической модели изучаемого явления по экспериментальным данным.

Предположим, что при проведении эксперимента измеряется некоторая скалярная или векторная величина, которая является выходной величиной, характеризующая объект или явление. Входные величины, от которых зависит выходная величина у, называются факторы или контролируемые переменные. Обычно измеряемая величина зависит от одного или нескольких факторов.

Выбор факторов, от которых зависит выходная величина, и определение вида функциональных зависимостей между выходной величиной и факторами, т.е. выбор структуры модели, представляет собой очень сложную задачу. В настоящее время не существует достаточно общих методов обоснования того или иного типа модели до эксперимента. Обычно этот этап процесса идентификации осуществляется эвристически с учетом как имеющейся информации о системе, так и того, какие цели преследует идентификация, где будет использоваться полученная модель.

Значение каждого из факторов, от которых зависит выходная величина, может быть выбрано из некоторого интервала значений.

Обозначим - вектор-столбец, координаты которого х₁…х_к есть контролируемые переменные.

Факторы могут изменяться в некоторых пределах. Область действия факторов называется факторным пространством, размерности к. Х- область действия факторного пространства, в которой могут лежать допустимые с точки зрения возможности или желательности проведения эксперимента значения контролируемых переменных.

Задача регрессионного эксперимента состоит в установлении связи между измеряемой величиной или какой-нибудь функцией от нее и контролируемыми параметрами.

Поскольку процесс измерения выходной величины носит случайный характер, то и сами измеряемые значения выходной величины рассматриваются как С.В. и вычисляется ее среднее значение.

При построении регрессионной модели нас интересует среднее значение величины по отношению к контролируемым переменным.

(1)

- математическое ожидание (среднее значение) случайной величины у при заданном значении точки из области действия. - функция, зависящая от факторов и неизвестных коэффициентов . Определение этих неизвестных коэффициентов – одна из задач регрессионного анализа. Функция называется поверхностью отклика и она описывает механизм изучаемого явления.

Условие (1) эквивалентно предположению, что функция правильно и точно (с точностью до ошибок измерения) описывает исследуемое явления, но так как это предположение, то после получения коэффициентов модели проверяют адекватность. этой модели.

Так как мы рассматриваем статистическую модель и определяем среднее значение выходной величины, то в точках измеренные значения выходной величины удовлетворяют следующему равенству:

где - случайные величины, для каждой из которых

В описанной ситуации:

При проведении эксперимента мы не можем получить у_ист, т. к. имеем дело с результатом измерения у_i. В данной постановке задачи предполагается, что контролируемые переменные (факторы), мы знаем точно (хотя в действительности это не так и в дальнейшем мы научимся решать задачу регрессионного анализа при ошибках измерения ). Измерения в точках предполагаются независимыми, т. е. процесс измерения выходной величины у в точке никак не отражаются на процедуре измерения у в точке .

Введем понятие ковариации случайной величины.

Ковариация случайных величин y_i и y_j равна математическому ожиданию произведения отклонений y_i и y_j от их математического ожидания, т. е.:

если i=j, то (*)

здесь σ_i² – дисперсия случайной величины. Она является мерой разброса значений этой случайной величины относительно его среднего значения E{y_i}. Чем меньше дисперсия, тем точнее процедура измерений. σ_i называется еще стандартным отклонением (среднеквадратической ошибкой) величины у_i.

Независимость измерений в точках выражается соотношением:

Cov{y_i,y_j}=σ_i² при i=j

(**)

Cov{y_i,y_j}=0 при i≠j

В разных точках факторного пространства точность измерения у_i может быть различной, т. к. могут существовать неудобные для измерения ситуации, поэтому в формуле (*) допускаются различные σ_i².

Введем векторно-матричную символику. Обозначим через вектор-столбец измеренных значений выходной величины в точках факторного пространства, т. е. -вектор результатов измерений (вектор наблюдений).

Через D{y} обозначается ковариационная (дисперсионная) матрица результатов измерений (вектора наблюдений). Элемент d_ij этой матрицы: d_ij=cov{y_i,y_j}

Матрица D{ }- диагональная, т.к. при i≠j cov{y_i,y_j}=0, а на дагонали стоят σ_i².

При равноточных измерениях, т. е. при σ_i²= σ², дисперсионную матрицу можно представить D{y}=σ²I_n, где I_n – единичная матрица.

Информацию о результатах эксперимента содержит вектор результатов наблюдений и матрица плана эксперимента F:

‑ вектор наблюдений; ‑ матрица плана эксперимента.

m – сколько факторов;

n – экспериментов;

- координаты точки в нашей области действия, в которой проводятся измерения .

Если объединить и получится информационная матрица (матрица эмпирических данных). Обозначим через информационную матрицу.

Информационная матрица вместе с математической моделью и ограничениями (**) является исходными данными для обработки результатов эксперимента.

Эксперимент. План эксперимента.

Эксперимент Е- совокупность величин:

где- точки из области действия Х факторного пространства (т.е. из области допустимых значений факторов), в которых производится измерение у.

Величина у измеряется r_k раз в точке .

y_k1, y_k2, … y_krk ‑ измеряемые значения у в точке при r_k измерениях;

, r_k-количество измерений в точке ,

σ_к²-дисперсия случайной величины у_кi.

Предполагается, что все случайные величины у_кi, полученные при измерении у в точке , обладают одинаковой дисперсией σ_к².

Таким образом, мы имеем полную информацию об эксперименте, если имеем , в которых производим замеры и y_krk –вектор наблюдений в каждой точке.

Планэксперимента E(N)-совокупность точек:

r_i- количество измерений величины у в точке факторного пространства;

N-общее число измерений у в данном эксперименте.

Таким образом, чтобы спланировать эксперимент нам надо знать точки, где мы будем проводить замеры, сколько раз измерять у в каждой точке и N-общее число измерений.

Спектр плана или матрица плана эксперимента e(N) – совокупность точек .

Нормированным планом e(N) называется совокупность величин:

где - относительное число измерений;

Здесь p_i-рациональное число;

Число называется рациональным, если а=а₁/а₂, где а₁, а₂ – целые числа. В противном случае а – иррациональное число.

Непрерывный нормированный план ε - совокупность величин:

где могут принимать любые значения между 0 и 1, т.е. p_i- иррациональное число, и в непрерывном плане р_i = 0.123; 0.348.

Если p_i-иррациональное, то непрерывный план не может быть реализован на практике. Однако при большом числе измерений N всегда можно указать нормированный план, достаточно мало отличающийся от непрерывного плана.

Вместе с тем именно для непрерывных нормированных планов получены наиболее сильные результаты.

Оптимизация методики обработки экспериментальной информации.