Теоретические сведения. Переменная y называется функцией переменной x, если каждому допустимому значению x соответствует определенное значение y

Переменная y называется функцией переменной x, если каждому допустимому значению x соответствует определенное значение y.

Символически функциональная зависимость между переменной y (функцией) и переменной x (аргументом) записывается с помощью равенства y=f(x), где f обозначает совокупность действий, которые надо произвести над x, чтобы получить y.

Областью определения функции D(y) называется множество всех действительных значений аргумента x (множество всех точек числовой оси), при которых она имеет действительное значение.

Множеством значений функции E(y) называется множество всех действительных значений функции y, которые она может принимать.

Функция может быть задана аналитически (формулой), таблицей, графиком или каким-либо другим способом.

Функцию y=f(x) иногда можно представить таблицей, в первой строке которой перечисляются значения независимой переменной x, а во второй – соответствующие значения f(x) зависимой переменной.

Графиком функции y=f(x) называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (x;f(x)).

Известны графики многих функций. Например, график функции y=kx+b есть прямая линия (рис.1), график функции y=x² – парабола (рис.2), график функции (обратная пропорциональная зависимость) – гипербола (рис.3)

В графике содержится вся информация о функции.

Функция f (х) называется возрастающей на данном числовом промежутке Х, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции , т.е. для любых и из промежутка X, таких, что , выполнено неравенство .

Функция f (х) называется убывающей на данном числовом промежутке X, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции f (х), т. е. для любых и из промежутка X, таких, что , выполнено неравенство .

Функция, только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

Функция y = f(x) называется четной, если она обладает следующими двумя свойствами:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки О (т. е. если точка а принадлежит области опреде­ления, то точка - а также принадлежит области определения);

2) для любого значения х, принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Функция y = f(x) называется нечетной, если:

1) область определения этой функции симметрична относительно точки О;

2) для любого значения ,принадлежащего области определения этой функции, выполняется равенство .

Функция f называется периодической, если существует такое число , что при любом х из области определения функции числа и также принадлежат этой области и выполняется равенство . В этом случае число Т называется периодом функции f.

Если - период функции, то , где , также период функции. Следовательно, всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.