И равновесная цена

Потребитель заинтересован купить товар по меньшей цене, а продавец желает продать товар по возможно большей цене. Поэтому на однотоварном рынке функцию спроса и функцию предложения можно выразить непрерывными соответственно убывающей и возрастающей функциями и , где p - цена единицы товара, q - количество единиц товара. Эти функции определены на промежутке от 0 до и принимают значения из этого промежутка.

Рыночное равновесие на однотоварном рынке - это ситуация, когда спрос равен предложению. Цена единицы товара в этой ситуации называется равновесной ценой.

Докажем, что на однотоварном рынке с возможным дефицитом или избытком товара существует единственная равновесная цена.

Рассмотрим функцию . Эта функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому существуют числа и , для которых и . Так как функции f и j являются непрерывными функциями, то F - непрерывная функция. Из курса математики известно, что если непрерывная функция принимает значения разных знаков, то существует по крайней мере одно число , для которого , т.е . Следовательно, существует по крайней мере одна равновесная цена.

Докажем, что существует единственная равновесная цена. Пусть , тогда и или . Складывая первое и третье неравенства, получим:

,т.е. .

Следовательно, F - непрерывная убывающая функция. Известно, что график непрерывной убывающей функции, определенной на промежутке от 0 до и принимающей значения разных знаков, пересекает ось абсцисс в единственной точке, т.е. существует единственная цена , для которой (рис. 3.3.1). Утверждение доказано.

Рис. 3.3.1. Рыночное равновесие

Дефицит и избыток товара начинается при цене соответственно меньшей и большей равновесной цены.

Пример 3. 3.4. Функции спроса и предложения на однотоварном рынке имеют соответственно вид и .

Найдем диапазон, в котором находятся цены на этом рынке. Для этого решаем систему неравенств:

.

Таким образом, . Это означает, что по цене, меньшей 60 у.е., продавцы товар не продают, а по цене, большей 820 у.е., покупатели его не покупают.

Найдем диапазон, в котором находится количество товара на этом рынке. Выражая цену р через количество q из функций спроса и предложения, получим: и .

Решим систему неравенств:

.

Таким образом, .

Для вычисления равновесной цены решим систему уравнений:

.

у.е.

Таким образом, равновесная цена равна 120 у.е. За эту цену покупается единиц товара.

Найдем цену р, при которой дефицит товара составляет 494 ед.:

ед.

Решая это уравнение, находим искомую цену, равную 81 у.е.

Найдем цену р, при которой избыток товара составляет 494 ед.:

ед.

Решая это уравнение, находим искомую цену, равную 159 у.е.

Упражнение 3.3.3. Функции спроса и предложения на однотоварном рынке имеют соответственно вид и .

Найдите диапазоны цен и количества товара на рынке, равновесную цену и цены при которых дефицит и избыток товара составит 100 ед.