Модели в пространстве состояний

Бураков М.В.

Д79 Теория автоматического управления: учеб. пособие. Часть 2/ М. В. Бураков;– СПб.: ГУАП, 2014. -258 с.: ил.

ISBN

Учебное пособие предназначено для подготовки бакалавров и магистров по направлению 220400 «Управление в технических системах», а также студентов других специальностей, изучающих дисциплины «Теория автоматического управления» и «Основы теории управления».

УДК 681.5

ББК

Б

ISBN © Санкт-Петербургский государственный

университет аэрокосмического

приборостроения (ГУАП), 2014

© М. В. Бураков, 2014

©

Оглавление

1.	МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ
	ЗАКЛЮЧЕНИЕ
	Библиографический список

Введение

Метод пространства состояний

Модели в пространстве состояний

Практически все динамические объекты могут быть описаны с помощью дифференциальных уравнений.

Метод пространства состояний позволяет исследовать системы во временной области. Преимущества этого подхода обусловлены тем, что он позволяет единообразно исследовать и одномерные, и многомерные, и линейные, и нелинейные системы.

Состояние системы – это совокупность таких переменных, знание которых позволяет, при известном входе и известных уравнениях динамики, описать будущее состояние системы и значение ее выхода.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие составление уравнений в переменных состояния.

Пример 1.1. Тележка на колесах массой M, перемещающаяся под воздействием силы f (t) вдоль оси x с коэффициентом трения k (рис. 1.1).

m

f (t)

x

Рис.1.1. Тележка на колесах

Введем переменные состояния:

Тогда

В матричной записи:

Пример 1.2. Механическая система с линейным перемещением (рис. 1.2).

m

f ПР = –k 1 y (t)

y

f ТР = –k 2 dy (t) /dt

f (t)

Рис.1.2. Механическая система с линейным перемещением

На тело массой m действует три силы: внешняя сила f (t), сила трения f _ТР (t), пропорциональная скорости с коэффициентом k ₂, и сила упругости f _ПР(t), пропорциональная перемещению вдоль оси y (t) с коэффициентом k ₁.

Под действием этих сил тело движется согласно закону Ньютона, который гласит, что сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение:

а передаточная функция (ПФ) равна

Это выражение определяет зависимость положения y (t) от действующей силы f (t).

Допустим, что нам нужна также информация о скорости dy (t) /dt. Введём следующие переменные:

Далее можем записать:

Представим эту систему уравнений в векторно-матричной форме:

.

Пример 1.3. Рассмотрим систему, описываемую дифференциальными уравнениями:

где u ₁ и u ₂ - входные переменные, а y ₁ и y ₂ - выходные переменные.

Выберем переменные состояния:

Тогда:

Эти уравнения можно записать в векторно-матричной форме:

.

Уравнения состояний линейной стационарной системы имеют следующий общий вид:

где X – вектор-столбец состояния [ n ´ 1]; А – матрица коэффициентов объекта [ n ´ n ]; В – матрица входа [ n ´ m ]; U – вектор входа (управления) [ m ´ 1]; Y – вектор выхода [ k ´ 1]; С – матрица выхода [ k ´ n ]; D – матрица влияния входа непосредственно на выход системы [ k ´ m ].

Уравнениям состояния соответствует структурная схема, показанная на рис. 1.3.

Y (t)

B

ò

C

A

U (t)

X (t)

D

Рис. 1.3. Структура системы в пространстве состояний

На практике часто рассматриваются скалярные системы (с одним входом и одним выходом). Матрица D обычно нулевая. Тогда можно записать уравнения состояния в развернутом виде:

Имея описание скалярной системы в виде ПФ, можно легко получить описание в пространстве состояний:

где y (s), u (s), x (s) - выход, вход и состояние системы.

Первой дроби соответствует уравнение выхода, а второй – уравнение состояния.

Пример 1.4. Имеется ПФ объекту управления:

Требуется получить уравнения состояния.

Решение.

Уравнение состояния:

Тогда

Переходя во временную область, можем записать:

Выбираем переменные состояния: x ₁ = x; x ₂(t) = dx / dt, тогда можно записать

Уравнения выхода:

Пример 1.5. Рассмотрим систему 3-го порядка.

Переходя во временную область:

Вводим переменные состояния:

x ₁ = x, x ₂(t) = dx / dt, x ₃(t) = d ² x / dt ².

Получаем уравнение состояния

Уравнение выхода