Классификация точек разрыва. Определение. Точкой разрыва называется точка, в которой нарушается условие непрерывности

Определение. Точкой разрыва называется точка, в которой нарушается условие непрерывности.

Как же может нарушаться условие непрерывности? Во-первых, «неприятность» может

случиться со значением функции в указанной точке: либо оно не определено, либо не совпадает с пределом. Во-вторых, пределы функции в данной точке справа и слева могут не совпасть. И, наконец, самого предела может не быть хотя бы с одной стороны, или же он может оказаться бесконечным. Итак:

I. Точка называется точкой устранимого разрыва, если предел функции в этой точке существует, конечен (), а значение не определено (), или же предел отличен от значения ().

Разрыв называется устранимым, т.к. его легко «устранить», введя или поменяв значение

функции всего лишь в одной точке. (Нужно положить значение в точке равным .)

II. Точка называется точкой разрыва 1-го рода, если пределы функции в этой точке справа и слева существуют, конечны, но не равны друг другу (график в точке «не стыкуется»!).

III. Во всех остальных случаях (когда хотя бы одного одностороннего предела в точке не существует или же он бесконечен) точка называется точкой разрыва 2-го рода.

Устранимый разрыв. Разрыв 1-го рода. Разрыв 2-го рода.

Задание. Исследовать функцию на непрерывность. Определить характер точек

разрыва. а)

б) в) .