Геометрический анализ замкнутых механизмов. Пример

Пусть задан некоторый механизм (рис.2.1): его структура и размеры звеньев, а также входная обобщенная координата q. Целью геометрического анализа является определение зависимостей выходных параметров (например, углов поворота j ₂ и j ₃ звеньев 2 и 3 или координат некоторой точки К) от координаты q. Зависимость выходных параметров от входных обобщенных координат механизма называется функцией положения механизма.

Для механизма, показанного на рис.2.1, функции положения могут быть записаны в общем виде:

(2.1)

Определение функций положения механизма составляет прямую задачу геометрического анализа. Если известен закон изменения входной координаты q₁(t), то, решив прямую задачу, можно найти законы изменения выходных параметров х_К(t) =П _Хк [ q₁(t) ], y_K(t) =П _Yk [ q1(t) ] и т.д. Рассмотрим последовательность составления функции положения.

1. Проводится структурный анализ механизма. В шарнирном четырёхзвеннике, как уже отмечалось, можно выделить однозвенную одноподвижную группу I, включающую в себя кривошип 1 и вращательную пару 0, и группу Ассура II типа ВВВ, содержащую звенья 2 и 3 и три вращательные пары А, В и С.

2. В каждой структурной группе вводятся входные и выходные координаты. Входными координатами группы являются входные обобщенные координаты механизма, попавшие в данную группу (например, координата q₁ в группе I на рис.2.1), и координаты, определяющие положение кинематических пар предыдущих групп, к которым присоединяется рассматриваемая группа (например, для группы II на рис.2.1 это координаты точек А и С: х_А, у_А, х_С, у_С).

Выходные координаты группы – координаты, определяющие положение кинематических пар, к которым присоединяются последующие группы, а также выходные координаты механизма (для группы I на рис.2.1 это координаты точки А: х_А, у_А; для группы II это, например, координаты точки К: х_К, у_К.

3. Путем размыкания некоторых кинематических пар структурные группы приводят к открытым кинематическим цепям типа «дерево». Группа I на рис.2.1, присоединенная к стойке, уже образует структуру «дерева», поэтому в ней ничего размыкать не надо. В группе II размыкание можно провести, например, в шарнире В. Тогда, присоединив звено 3 к стойке или звено 2 к группе I, мы получим открытые кинематические цепи типа «дерево». При размыкании кинематических пар происходит размыкание связей; в частности, в плоских механизмах в одноподвижных парах размыкаются две связи, а в двухподвижных – одна. Таким образом, при размыкании шарнира В размыкаются две связи (х_В, у_В).

4. Вводятся групповые координаты, определяющие, вместе с входными, положение звеньев «дерева». Число групповых координат должно быть равно числу разомкнутых связей (на рис.2.1 это углы j ₂ и j ₃).

5. Составляются условия замыкания ранее разомкнутых связей и функции положения. Например, координаты точки В, принадлежащей звену 2, должны быть равны координатам точки В, принадлежащей звену 3: х_В2 = х_В3, у_В2 = у_В3. На основе этих условий получаются групповые уравнения, связывающие входные, выходные и групповые координаты структурной группы.

Введем обозначение: l₁, l₂, l₃ – длины звеньев 1, 2 и 3. Тогда получим следующие соотношения для механизма на рис.2.1.

Функции положения для группы I:

(2.2)

Групповые уравнения для группы II:

(2.3)

Функции положения точки К группы II:

(2.3’)

Уравнения (2.3) получены из условия замыкания связей в шарнире В.

Уравнения (2.2) можно назвать функцией положения точки А. В этих уравнениях известны длина l₁ и входная обобщенная координата q₁; неизвестными являются координаты точки А. Таким образом, функция положения точки А получена в явном виде. К сожалению, это удается сделать только для некоторых самых простых механизмов и структурных групп. В уравнениях (2.3) заданными являются размеры звеньев l₂ и l₃ и координаты точек А и С; неизвестными являются выходные координаты j ₂ и j ₃; следовательно, уравнения (2.3) – это функции положения звеньев 2 и 3, полученные в неявном виде.

Если механизм обладает не одной, а W степенями подвижности, то входных обобщенных координат у него также W: q₁, q₂, … q_W. Функции положения записываются в виде:

s =1, …, m, (2.4)

где m – число выходных координат.

Рассмотрим составление функций положения на примере плоской платформы (рис. 2.2). Ранее было установлено, что число степеней подвижности платформы равно 3, следовательно, надо задать три входные обобщенные координаты: q₁, q₂, q₃. Если это сделать так, как показано на рис.2.2, то механизм распадается на три структурные группы: однозвенные одноподвижные I и II и трехзвенную одноподвижную III. Введем входные и выходные координаты.

Группа I: входные координаты х₀, у₀, q₁, выходные координаты х_А, у_А;

Группа II: входные координаты х_Е, у_Е, q₂, выходные координаты x_D, y_D;

Группа III: входные координаты х_А, у_А, х_D, y_D, q₃, выходные координаты х_М, у_М, j ₃.

Произведем размыкание группы III в шарнире C и введем групповые координаты: j ₂, j ₃, и j ₄. Запишем условия замыкания: x_C3 = x_C4, у_C3 = y_C4. Далее составим групповые уравнения:

Группа I:

Группа II:

Группа III:

(2.5)

Дополнительное уравнение для углов получим из рис.2.2:

j ₃ + q₃ = j ₄ (2.6)

Часто в инженерной практике закон движения выходного звена уже задан в техническом задании; требуется определить закон изменения входных координат. Это вынуждает решать обратную задачу геометрического анализа: определение обобщенных входных координат в зависимости от выходных, т.е. отыскание функций:

q_к = Ф _к (х₁,…, х_m), к = 1,…, W (2.7)

Если число выходных координат m равно числу степеней подвижности W, то задача может иметь одно или несколько дискретных значений, т.е. функции Ф _к существуют как однозначные или многозначные. Если m > W, то задача в общем случае не имеет решения; при m < W некоторое число координат (а именно W - m) можно задать произвольно.

Рассмотрим решение обратной задачи геометрии на примере трехподвижной платформы. Заданными являются все размеры звеньев и выходные координаты: х_М, у_М, j ₃. Надо определить входные обобщенные координаты q₁, q₂, q₃. Применим структурную инверсию, т.е. входными координатами будем считать х_М, у_М, j ₃, а выходными координатами – q₁, q₂, q₃ (рис.2.3). В этом случае, как отмечалось в главе 1, механизм разбивается на три группы: I – однозвенная трехподвижная, II и III – двухзвенные группы Ассура типа ВВВ.

Составим уравнения для группы I:

(2.8)

Для группы II:

(2.9)

Для группы III:

(2.10)

Дополнительное уравнение для углов:

j ₃ + q₃ = j ₄