Образование нормальных механизмов. Структурная формула. Плоские и пространственные механизмы. Примеры

Кинематическая цепь, в которой одно из звеньев принято за неподвижное, называется механизмом. Поскольку неподвижное звено не обладает подвижностью, для определения числа степеней подвижности механизма W это звено нужно вычесть из числа N:

(1.2)

Формула (1.2) называется формулой Малышева–Сомова. Пользуясь формулой (1.2), определим число степеней подвижностиисполнительного механизма промышленного робота, показанного на рис.1.11. Отметим, что все КП в этом механизме – одноподвижные (одна поступательная и две вращательных), тогда: .

Следовательно, для того, чтобы полностью и однозначно определить положение звена 4, необходимо задать 3 входные координаты; на рис.1.11 они обозначены q₁, q₂, q₃. Если это условие будет выполнено, то такой механизм – нормальный. Нормальным механизмомназывается такой, в котором число входов совпадает с числом степеней подвижности. Модель «нормальный механизм» была предложена проф. М.З.Коловским; она удобна тем, что поддается геометрическому анализу. У рассмотренного механизма (рис.1.11) имеется еще одно важное свойство – каждое звено соединено с предыдущим одной КП. В этом случае говорят, что механизм имеет структуру «дерева». В этом случае .

Формула Малышева–Сомова (1.2) для механизма со структурой «дерева» приобретает следующий вид: (степень подвижности механизма равна сумме степеней подвижности всех КП).

Однако у механизма может быть большое число звеньев и, следовательно, система уравнений, описывающая такой механизм, будет содержать большое число уравнений. Для того, чтобы упростить анализ сложного механизма, удобно разбить его на более простые модели – структурные группы.

Следует отметить, что рассмотренная модель механизма с жёсткими звеньями имеет число степеней подвижности, равное числу степеней свободы. Если модель жесткого звена, входящего в состав механизма, заменить на модель упругого звена, то число степеней свободы увеличится, а число степеней подвижности не изменится. Модели механизмов с упругими звеньями рассматриваются в специальных разделах ТММ и в дисциплине «Колебания в машинах».

5. Механизмы с избыточными связями и лишними степенями подвижности. Избыточные связи: освобождающие и неосвобождающие.

Рассмотрим механизм, показанный на рис.1.15, а.

Его называют шарнирным четырёхзвенником, так как у него четыре звена, включая стойку, и все кинематические пары (КП) являются шарнирами. На реальной модели видно, что механизм является одноподвижным: вращая кривошип, мы сообщаем полностью определенное движение остальным звеньям. Однако из формулы Малышева–Сомова:

(1.2)

следует, что число степеней подвижности механизма отрицательно: W = 6(4 – 1) – 5×4 = –2, т.е. рассматриваемая схема представляет собой неподвижную ферму. Очевидное несоответствие объясняется тем, что мы подставили в формулу (1.2) и те связи, которые в реальном механизме не используются. Их называют избыточными связями. Например, в данном механизме все звенья движутся в параллельных плоскостях, следовательно, те связи, которые не позволяют звеньям выйти из плоскости их движения, не использованы. Такие связи можно убрать, и при этом число степеней подвижности механизма не изменится. Например, вместо одноподвижной КП можно поставить двухподвижный цилиндрический шарнир, который позволяет звеньям выходить из плоскости их относительного вращения, однако эта возможность в данном механизме не будет использована, поскольку нет сил, которые вынуждали бы звенья выйти из плоскости их движения. Однако если окажется, что оси всех шарниров четырёхзвенника не будут строго параллельны друг другу, то звенья будут стремиться двигаться уже не в параллельных плоскостях; в этом случае проявятся избыточные связи, которые не дадут звеньям провернуться и превратят механизм в ферму.

Механизмы с избыточными связями используют для повышения жесткости конструкции. Однако они накладывают повышенные требования к точности изготовления деталей и их монтажа (в данном случае – требование к соблюдению параллельности осей шарниров), и, следовательно, ведут к удорожанию конструкции. Если эти требования выполнены не в достаточной степени, то для проворачивания механизма нужно прилагать повышенные усилия, что может привести к увеличению трения, повышенному износу, заклиниванию механизма и даже к его поломке. Для того, чтобы избежать этого, в механизмах с непараллельными осями иногда прибегают к рассверливанию отверстий в шарнирах. При этом одноподвижные КП превращаются в двухподвижные (см. рис. 1.15, б). Число степеней подвижности в таком механизме равно: W = 6(4–1)–5×1–4×3 =1. Однако в таком механизме появляются зазоры в соединениях, следовательно, падает точность работы механизма; при перемене знака передаваемых усилий в соединении возникает ударная нагрузка на соединения, что приводит к их поломке.

Для того, чтобы определить число избыточных связей q, достаточно вычесть из числа степеней подвижности, найденного опытным путем, число степеней подвижности, найденное по формуле (1.2). В случае шарнирного четырехзвенника это 1 – (–2) = 3. Формула Малышева-Сомовас учетом избыточных связей имеет вид:

(1.2’)

Рассмотрим еще один четырехзвенный механизм, представленный на рис.1.16. У него один одноподвижный шарнир и три двухподвижных, которые допускают относительное вращение входящих в них звеньев вокруг двух осей, следовательно, общее число степеней подвижности равно 1. Однако в некоторых положениях может оказаться так, что оси, допускающие относительное вращение звеньев, у двух несмежных шарниров совпадут, как показано на рис. пунктирной линией. Возникнет мгновенная ось вращения, вокруг которой будут стремиться повернуться шатун и коромысло. То есть появилась «лишняя» степень подвижности, не выявленная формулой Малышева – Сомова и обусловленная подбором кинематических пар. Механизм, показанный на рис. 1.16, носит название механизмаТеннета. В этом механизме возможно появление «лишних» степеней подвижности, выраженное вращением шатуна и коромысла вокруг их продольных осей.

6. Плоские механизмы и плоские группы Ассура. Формула Чебышёва. Класс и порядок группы.

Плоский механизм – такой, в котором звенья перемещаются в параллельных плоскостях. Эта модель используется достаточно часто. Для таких моделей для определения числа степеней подвижности удобно пользоваться формулойЧебышева:

W _п = 3(N – 1) – 2 p_н – р _в (1.3)

Здесь N – число звеньев механизма; р _н – число низших кинематических пар; р_в – число высших кинематических пар. Вывод этой формулы достаточно очевиден: в плоскости движения звенья обладают тремя степенями подвижности; каждая низшая пара отнимает у звеньев по две степени подвижности, оставляя по одной; каждая высшая пара отнимает, соответственно, по одной степени подвижности.

В соответствии с формулой Чебышева число степеней подвижности шарнирного четырехзвенника (рис. 1.15, а) составляет: W _п = 3(4 – 1) – 2×4 = 1.

Рассмотрим кулачковый механизм, представленный на рис.1.17. Здесь звено 1 – кулак, звено 2 – толкатель, звено 3 – ролик, 4 – стойка. Ролик в кулачковых механизмах ставится для уменьшения потерь на трение (замена трения скольжения на трение качения). В механизме три низших кинематических пары (две вращательных и одна поступательная) и одна высшая (соединение кулака и ролика). По формуле Чебышева W _п=3(4 – 1) – 2×3 – 1×1 = 2. Вторая степень подвижности (вращение ролика вокруг своей оси) – «лишняя».

В плоских механизмах, так же как и в пространственных, можно выделить структурные группы; число степеней подвижности плоских структурных групп W _пг находится по формуле:

W _пг=3 N – 2× p _н – p _в (1.4)

Если W _пг = 0, то такая структурная группа называется плоской группой Ассура. Рассмотрим возможные плоские группы Ассура.

N = 1, тогда р _н=1 и р _в=1 (в группе Ассура с одним звеном должна быть одна низшая и одна высшая КП – рис.1.18, а). Присоединив однозвенную группу Ассура к одноподвижной группе и к стойке, получим механизм с коромысловым толкателем (рис.1.18, б). Структуру механизма можно представить в виде схемы, называемой графом: вершины графа, обозначаемые кружками, представляют собой структурные группы, внутри которых цифрами проставляют число звеньев группы и число степеней подвижности группы; ребра графа, связывающие вершины, обозначают КП, с помощью которых группы соединяются между собой. Вершина графа с нанесенной косой штриховкой обозначает стойку. Таким образом, граф структуры, изображенный на рис.1.18, в показывает, что структура механизма представляет собой однозвенную одноподвижную группу, которая связана с однозвенной группой Ассура и со стойкой.

Если N = 2 (такую группу Ассура называют диадой), тогда р _н = 3, р _в = 0, то есть в двухзвенной группе Ассура должны быть три низшие кинематические пары. Это могут быть вращательные или поступательные КП в различных сочетаниях. На рис.1.19, а показана диада с тремя вращательными парами (она обозначается буквами ВВВ), а на рис.1.19, б – схема механизма, образованного с этой диадой (это уже упоминавшийся шарнирный четырёхзвенник). На рис.1.20, а представлена диада ВВП (две вращательных и одна поступательная КП), а на рис.1.20, б – схема механизма с диадой ВВП (кривошипно-ползунный механизм). Шарнирный четырёхзвенник и кривошипно-ползунный механизм имеют одинаковую структуру: к стойке присоединена однозвенная одноподвижная группа, включающая в себя кривошип и вращательную КП, а к ней – диадаВВВ или ВВП. На рис.1.21 показан граф структуры этих двух механизмов.

Если N = 3, то в группе Ассура могут быть четыре низшие КП и одна высшая, как на рис.1.22 (р _н=4, р _в=1, W _пг=3×3–2×4–1=0), либо три низших и три высших КП (W _пг=3×3–2×3–3=0), либо две низших и пять высших (W _пг=3×3–2×2–5=0); такие группы уже не реализуют.

Четырёхзвенная группа Ассура (N = 4) должна содержать 6 низших КП, как, например, на рис.1.23, а. (р _н=6, р _в=0, W _пг=3×4–2×6=0). Присоединив такую группу к однозвенной одноподвижной группе и к стойке, получим механизм, показанный на рис.1.23, б. Граф структуры такого механизма представлен на рис. 1.23, в.