Приклад розв’язування задачі. Задано граф станів і переходів системи, зображений на рис

Задано граф станів і переходів системи, зображений на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Граф станів і переходів динамічної системи

Задано також початковий стан системи Х₂, крок квантування ∆t = 0,05. Необхідно розрахувати перехідний процес у системі P_j(t), j= , та імовірності станів P_j, j= , у граничному стаціонарному режимі.

Розв’язок

1. Для заданого графа станів і переходів система диференціальних рівнянь (5.3) набуває такого вигляду:

2. У системі рівнянь виключаємо , виконавши таку підстановку:

.

Тоді систему можна записати таким чином:

3. Розрахунок перехідного процесу виконаємо методом Ейлера (обчислення варто здійснювати програмно, тому що величина g може набувати великих значеннь).

4. Імовірності Р_j станів системи в граничному стаціонарному режимі визначимо, розв’язуючи таку систему алгебраїчних рівнянь:

Лістинг програми, написаної в середовищі Matlab 6.1., яка реалізує розрахунок перехідного процесу має такий вигляд:

clear;

g=1;

p1(g)=0; %початкові значення

p2(g)=1;

p3(g)=0;

p0(g)=1-p1(g)-p2(g)-p3(g);

dt=0.05; %крок

for i=1:200

p1(g+1)=p1(g)+dt*((-0.7-0.4-0.5)*p1(g)+0.3*(1-p1(g)-p2(g)-p3(g))+0.2*p2(g));

p2(g+1)=p2(g)+dt*((-0.2-0.8)*p2(g)+0.5*p1(g)+0.3*p3(g));

p3(g+1)=p3(g)+dt*(-0.3*p3(g)+0.7*(1-p1(g)-p2(g)-p3(g))+0.4*p1(g));

p0(g+1)=1-p1(g+1)-p2(g+1)-p3(g+1);

g=g+1;

end;

x=0:200;

p0=1-p1(g-1)-p2(g-2)-p3(g-3);

disp(' # p0 p1 p2');

[x' p1' p2' p3']

[p0 p1(g-1) p2(g-2) p3(g-3)]

a=[1 1 1 1; 0.3 -1.6 0.2 0; 0 0.5 -1 0.3; 0.7 0.4 0 -0.3]; %матриця коефіцієнтів станів системи в граничному стаціонарному режимі

b=[1; 0; 0; 0];

p=a\b %розв’язок системи

sum(p) %сума ймовірностей