Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть .
Функция называется непрерывной в точке , если существует конечный предел функции в этой точке, который равен значению функции в точке , то есть .
Примером непрерывной функции может служить любая элементарная функция, которая непрерывна в каждой точке своей области определения.
Точка называется точкой разрыва функции , если эта функции определена в некоторой окрестности точки , но в самой точке не удовлетворяет условию непрерывности.
Точки разрыва функции делятся два типа. К точкам разрыва I рода относятся такие точки, в которых существуют конечные односторонние пределы: (левый предел) и (правый предел). К точкам разрыва II рода относятся те точки, в которых хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
Заметим, что точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь на точки устранимого разрыва (когда ) и на точки скачка функции (когда ); в последнем случае разность называется скачком функции в точке .
Пример
Задание 1: Вычислите односторонние пределы: 1) ;
2) .
Решение: 1) Пусть . Тогда при функция , а, следовательно, и есть отрицательная бесконечно малая, поэтому функция - отрицательная бесконечно большая, то есть .
При функция , а, следовательно, и - положительная бесконечно большая функция, то есть .
2) Пусть . Тогда при имеем: - отрицательная бесконечно малая функция; следовательно, и . Отсюда .
Если , то при получим: - положительная бесконечно малая функция; следовательно, и , тогда . Имеем, .
Задание 2: Даны функции: 1) ; 2) . Найти точки разрыва и исследовать их характер.
Решение: 1) Функция определена при всех значениях , кроме . Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения, состоящей из двух промежутков и .
Следовательно, единственной точкой разрыва является точка (функция определена в окрестности этой точки, в самой же точке нарушается условие непрерывности – функция в ней неопределена). Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы этой функции при стремлении аргумента к точке разрыва : , .
Следовательно, при функция имеет бесконечный разрыв; есть точка II рода.
2) Рассуждая аналогично, получим, что точкой разрыва заданной функции является . Найдем односторонние пределы этой функции в точке : , .
Таким образом, левый и правый пределы исследуемой функции при конечны, но не равны между собой. Поэтому точка I рода, причем точка скачка функции.
Дата публикования: 2015-02-18; Прочитано: 317 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!