Понятие функции и способы ее задания

В каждом реальном процессе или явлении участвуют одновременно несколько переменных величин, взаимосвязанных друг с другом таким образом, что изменение одних величин сказывается на значениях других. Они не могут принимать одновременно любой набор значений: если одним из них приданы конкретные значения, то этим определяются и значения других переменных. Говорят, что между рассматриваемыми величинами имеется функциональная зависимость. Например, функциональная зависимость существует между длиной окружности и её радиусом, между площадью квадрата и его стороной и т.д.

Дадим общее определение понятия функции - одного из основных понятий математического анализа (для двух переменных).

Переменная называется функцией от переменной в области её значений _, если по некоторому правилу или закону каждому значению из ставится в соответствие одно определенное значение из . Переменная называется независимой переменой или аргументом функции, а переменная - зависимой переменной или функцией. Множество значений аргумента называется областью определения функции, а множество значений переменной называется областью значения функции .

Существенным в определении функции является условие, что каждому значению соответствует одно значение . Такие функции называются однозначными. Если допустить, что одному значению может ставиться в соответствие несколько значений , то получим многозначную функцию.

Если переменная есть функция от переменной , то это обозначается так: или и т.п.

Способы задания функции. Задать функцию - это значит задать область определения функции, область ее изменения и закон или правило, согласно которым по данному значению аргумента находится соответствующее значение функции.

Задать функцию можно по-разному. Важнейшие способы задания функции: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ задания функции. Это наиболее удобный и наиболее распространенный способ задания функции. При аналитическом способе задания функция задается формулой, в которой указаны действия и порядок получения данного значения функции.

Формулы могут содержать, прежде всего, все изученные в элементарной математике операции: арифметические действия (сложение, вычитание, умножение, деление), возведение в степень и извлечение корня, логарифмирование, операции нахождения синуса, косинуса, тангенса, котангенса и им обратные.

Областью определения функции, заданной аналитически, является множество значений аргумента, при которых формула имеет смысл, т.е. при которых выполнимы все действия, указанные в формуле.

Пример. Функция определена лишь на отрезке , так как квадратный корень не извлекается из отрицательных чисел.

Напомним действия, которые выполняются в области действительных чисел только при выполнении определенных условий.

1) деление выполнимо при ;

2) извлечение корней четной степени выполнимо при ;

3) возведение в степень с иррациональным показателем , – иррациональное, выполнимо при ;

4) логарифмирование , , выполнимо при ;

5) существует при , ;

6) существует при ; ;

7) существует при ;

8) существует при .

Пример. Найти область определения функции

Решение. Область определения описывается следующим неравенством

Это следует из условия, что логарифм существует только для положительных чисел.

Приравняем этот трёхчлен к нулю,

.

Tочки делят числовую ось на интервалы . Определим знак функции в каждом интервале. Для этого достаточно вычислить f(x) в одной из внутренних точек каждого интервала.

,

Таким образом, функция определена в области .

Задание 1. Найти область определения функции:

а) ; б) ; в) .

Табличный способ задания функции. При табличном способе указываются значения функции при заданном значении аргумента.

х
у					уn

Графический способ задания функции. При графическом способе функция задается графиком в некоторой системе координат.

Графиком функции в прямоугольной системе координат называется множество точек плоскости, абсциссами которых являются значения аргумента, а ординатами - соответствующие им значения функции. График функции обычно представляет собой некоторую кривую линию. Обратно, всякая линия на координатной плоскости хОу изображает некоторую функцию, а именно ту, значения которой равны ординатам точек линии при значениях аргумента, равным абсциссам этих точек.

В математическом анализе графический способ используется как вспомогательный, так как легкая обозримость и наглядность графика делает его незаменимым средством исследования свойств функции.

2.2. Характеристики поведения функции.

В дальнейшем мы будем рассматривать функции непрерывного аргумента, т.е. функции, заданные во всех точках некоторого интервала.

Перейдем к рассмотрению основных характеристик поведения функции.

Интервалы знакопостоянства. Это интервалы, в которых функция сохраняет один и тот же знак.

Различают интервалы положительного знака, т.е. интервалы, где функция положительна, и интервалы отрицательного знака, т.е. интервалы, где функция отрицательна.

В интервале положительного знака график функции расположен над осью , а в интервале отрицательного знака - под осью (предполагается, что ось ординат направлена вверх, а ось абсцисс – горизонтально вправо). Нули или корни функции - это значения аргумента , при которых функция обращается в 0.

Четные и нечетные функции. Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и при изменении знака аргумента она не меняется, т.е. .

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и при изменении знака аргумента она изменяет только знак, т.е. .

Пример. Функция - четная, а функция - нечетная.

Известно, что график четной функции симметричен относительно оси , а график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Вот почему, исследуя четную или нечетную функцию, достаточно рассмотреть лишь одну из половин области определения.

Если область определения функции не симметрична относительно начала координат или не выполняется ни одно из условий и , то функция называется ни четной, ни нечетной или функцией общего вида. Именно такими являются большинство функций, например, .

Периодические функции. Период функции. Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого из области определении функции, выполняется равенство .

Если функция периодическая, то существует бесконечное множество чисел , для которых имеет место указанное равенство. Действительно, равенство выполняется для , так как и вообще для , где - любое натуральное число.

Наименьшее положительное число , для которого выполняется равенство , называется периодом функции.

Поведение функции на каждом из интервалов, длина которого равна периоду функции, совершенно одинаково, поэтому достаточно рассматривать функцию на одном из таких интервалов.

Ø Приведите примеры четной функции, нечетной функции, периодической функции.

Ø Какая из приведенных функций является периодической? Нарисуйте их графики.

Задание 2. Определить, какая из приведенных функций является четной, нечетной или ни четной, ни нечетной.

а) ; б) ; в) .

2.3. Классификация функций.

В зависимости от числа аргументов функции делятся на функции одной переменной и функции нескольких переменных (двух и т. д.). В этом разделе будем рассматривать только функции одной переменной, заданные аналитически.

Явные и неявные функции. Функция называется явной, если дано её выражение через аргумент . Например, , .

Функция называется неявной, если не имеется непосредственного аналитического выражения её через аргумент, а есть только уравнение, связывающее её с аргументом и неразрешённое относительно функции . Например, , .

Очевидно, что неявную функцию записать в явном виде не всегда возможно. В первом примере это сделать можно , а во втором нет.

Функции, заданные параметрически. Функция называется параметрически заданной, если и функция и её аргумент представлены как функции одной и той же вспомогательной переменной, называемой параметром: – параметр. Например:

Основные элементарные функции.

К основным элементарным функциям относятся:

1) Степенная функция

2) Показательная функция ;

3) Логарифмическая функция ;

4) Тригонометрический синус ;

5) Тригонометрический косинус ;

6) Тригонометрический тангенс ;

7) Тригонометрический котангенс ;

8) Обратный тригонометрический синус ;

9) Обратный тригонометрический косинус ;

10) Обратный тригонометрический тангенс ;

11) Обратный тригонометрический котангенс .

Элементарной функцией называется функция, которую можно задать одним аналитическим выражением, составленным из основных элементарных функций и констант при помощи конечного числа арифметических операций и операций взятия функции от функции. Например, функции , - элементарные, а функции и не являются элементарными, так как первая задана двумя формулами, а во второй имеется бесконечное число операций сложения и возведение в степень.