Понятие множества и величин

Понятие множества является одним из основных понятий математики.

Например, множество студентов в нашей аудитории, множество букв алфавита, множество целых чисел и т.п.

Предметы (объекты), составляющие некоторое множество, называются его элементами.

Часто множества обозначаются большими буквами латинского алфавита, а их элементы соответствующими малыми буквами.

Если является элементом множества , то это записывается как , если же не является элементом множеств , то это записывается как .

Например, если есть множество всех четных натуральных чисел, то , а .

Множество иногда задается перечислением всех его элементов. В этом случае все его элементы записываются в фигурных скобках и разделяются запятыми. Например обозначает множество, состоящее из чисел 2, 3,4 и только из них.

Чаще множества задаются характеристическим свойством множества, то есть свойством, которым обладают все его элементы и не обладают никакие другие объекты. Например, множество нечетных чисел, множество целых чисел, множество чисел, являющихся корнями уравнения (последнее является характеристическим свойством множества {2,3}).

В теории множеств рассматриваются и множества, не содержащие ни одного элемента. Такие множества называются пустыми и обозначаются знаком . Например, множество действительных корней уравнения есть пустое множество.

Множества могут состоять из объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, стулья, числа, уравнения, точки, углы и т.д. Чаще всего мы будем иметь дело с числовыми множествами, т.е. с множествами, элементами которых являются числа. Например, множество натуральных чисел , множество целых чисел , множество рациональных чисел , множество действительных чисел , множество положительных чисел , удовлетворяющих неравенству и т.п.

Некоторые числовые множества имеют особые названия.

Интервалом называется множество вещественных чисел, заключенных между числами и , т.е. множество чисел , удовлетворяющих неравенству . Обозначается интервал . На числовой оси ему соответствует отрезок, у которого отброшены концевые точки.

Числовым отрезком называется множество чисел , удовлетворяющих неравенству . Обозначается отрезок . На числовой оси ему соответствует отрезок с концами и .

Полуинтервалом называется множество чисел х, удовлетворяющих одному из двойных неравенств или . Обозначаются полуинтервалы и .

Лучом называется множество чисел, удовлетворяющих неравенству или или или . Обозначается луч соответственно .

Под интервалом понимается множество всех вещественных чисел .

Объединением двух множеств и называется множество, состоящее из элементов множеств и . Обозначается объединение этих множеств .

Пересечением двух множеств и называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству и одновременно, то есть из их общих элементов. Обозначается пересечение этих множеств .

Пример. Объединением множеств и есть множество , а пересечением - множество .

Ø Приведите определение интервала, полуинтервала и отрезка.

Ø Запишите указанные ниже множества в виде полуинтервала, интервала или отрезка: а) ; б) ; в) ; г) .

Рассматриваются скалярные и векторные величины (например, температура – скалярная величина, а скорость точки – векторная величина).

В курсе математического анализа мы будем иметь дело, главным образом, со скалярными величинами.

Постоянные и переменные величины. В каждом явлении природы или техническом процессе различные величины, участвующие в них, ведут себя по-разному. Одни из них с течением процесса не меняются, сохраняют постоянные значения, другие изменяются и принимают различные значения.

Величины, которые при данном исследовании сохраняют одно и то же неизменное значение, называются постоянными величинами.

Величины, которые по тем или иным причинам в течение данного процесса принимают различные значения, называются переменными величинами.

Понятие переменной величины является основным понятием курса математического анализа.

Все величины в математике обозначаются одной какой-либо буквой. Например, величины . Обычно переменные величины обозначаются последними буквами латинского алфавита, а постоянные - первыми

Переменная величина считается заданной, если указано множество значений, которые она может принимать.

Множество значений, которые может принимать переменная, называется областью значений этой переменной.

Постоянную величину можно рассматривать как частный случай переменной, множество значений которой состоит из одного элемента.