Часть 2. 10. Найдите значение выражения 1210,16 ·111,68

10. Найдите значение выражения 121^0,16 ·11^1,68.

11. Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой q=100-10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q·p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

12. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √3, а высота равна 1.

13. Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 16 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 96 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 57 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

14. Найдите наименьшее значение функции y=4tgx-4x-п+5 на отрезке [- п/4; п/4].

15. а) Решите уравнение cos2x=1-cos(п/2 – x).

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5п/2; -п].

16. В тетраэдре DABC DA = DC = 13, AC = 10; E - середина ВС.

а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку Е параллельно плоскости ADC.

б) Найдите площадь сечения.

17. Решите неравенство .

18. Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой окружности в точке А, а второй - в точке В. Прямая ВК пересекает первую окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую окружность в точке С.

а) Докажите, что AD||BC.

б) Найдите площадь треугольника DKC, если известно, что радиусы окружностей равны 1 и 4.

19. За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

20. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 2|x-2|+a+x=4 имеет хотя бы один корень, причем все его корни лежат на отрезке [0; 4].

21. Какое наибольшее число ладей можно разместить на шахматной доске так, чтобы для каждой ладьи либо её горизонталь, либо её вертикаль (либо и та, и другая), были свободны от других ладей?

Тренировочный тест № 2 ЕГЭ 2015 по математике. Профильный уровень.

Часть 1

1. Флакон шампуня стоит 170 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 900 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 35%.

2. На рисунке жирными точками показана цена никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 10 по 26 ноября 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наибольшую цену никеля на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за тонну).

3. Для изготовления книжных полок требуется заказать 60 одинаковых стекол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла равна 0,15 м². В таблице приведены цены на стекло и на резку стекла. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

Фирма	Стоимость стекла (руб. за 1 м2)	Резка стекла (руб. за одно стекло)
А
Б
В		Бесплатно

4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник АВС. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне АВ.

5. Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

^{6. Найдите корень уравнения}

7. Концы отрезка АВ лежат по разные стороны от прямой m. Расстояние от точки А до прямой m равно 7, а расстояние от точки В до прямой m равно 13. Найдите расстояние от середины отрезка АВ до прямой m.

8. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

9. Во сколько раз увеличится объем куба, если все рёбра увеличить в семь раз?

Часть2

^{10. Найдите значение выражения}

11. Высоту над землей (в метрах) подброшенного вверх камня можно вычислять по формуле h(t)=1,4+14t-5t², где t – время в секундах. Сколько секунд камень будет находится на высоте более 8 метров?

12. Диагональ правильной четырёхугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 30°. Боковое ребро равно 3. Найдите диагональ призмы.

13. Три килограмма черешни стоят столько же, сколько пять килограммов вишни, а три килограмма вишни – столько же, сколько два килограмма клубники. На сколько процентов килограмм клубники дешевле килограмма черешни?

^{14. Найдите точку минимума функции}

15. а) Решите уравнение 2 sin³ x– sin² x + 2sinxcos² x– cos³ x = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3п; п].

16. На высоте DH правильной треугольной пирамиды ABCD с основанием АВС взята точка К, причём DK:KH=3:2.

а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и середину рёбер АВ и ВС.

б) Найдите угол между прямой АВ и плоскостью сечения, если AD=5 и BC=4.

17. Решите неравенство 4^2|x|-3 – 3·4^|x|-2 – 1 = 0.

18. Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром О. Диагонали четырехугольника перпендикулярны, пересекаются в точке Р, отличной от О, и не проходят через точку О. Точки Mи N– середины диагоналей АС и BD соответственно.

а) Докажите, что прямая ОР проходит через середину отрезка MN.

б) Найдите площадь четырехугольника OMPN, если известно, что AC=BD, а MN=10.

19. 31 декабря 2014 года Максим взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на a%), затем Максим переводит очередной транш. Если бы он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Под какой процент Максим взял деньги в банке?

20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение 8х⁶ + 4х² = (3х + 5а)³ +6х +10а не имеет корней.

21. Найдите все целочисленные решения уравнения 3(х-3)² + 6y² + 2z² + 3y²z² = 33.

Тренировочный тест № 3 ЕГЭ 2015 по математике. Профильный уровень

Часть 1

1. Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

2. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 19 декабря. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3. Для изготовления книжных полок требуется заказать 30 одинаковых стёкол в одной из трёх фирм. Площадь каждого стекла 0,25 кв. м. В таблице приведены цены на стекло, а также на резку стекла и шлифовку края.

Фирма	Цена стекла (руб. за 1 кв. м)	Резка и шлифовка (руб. за одно стекло
А
Б
В

4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см χ 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

5. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

6. Найдите корень уравнения .

7. В треугольнике ABC угол C равен 90, АВ=13, tgA=8. Найдите высоту CH.

8. На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-5; 6). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

9. Куб описан около сферы радиуса 1. Найдите объём куба.

Часть 2.

10. Найдите значение выражения .

11. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t) = 1,6 +8t – 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

12. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен √27, а высота равна 1.

13. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 75 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 6 часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

^{14. Найдите наименьшее значение функции на отрезке} .

15. а) Решите уравнение 2sin⁴x + 3cos2x +1 = 0.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3п].

16. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна 108, а площадь полной поверхности этой пирамиды равна 144.

а) Постройте прямую пересечения плоскости SAC и плоскости, проходящей через вершину S этой пирамиды, середину стороны АВ и центр основания.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью SAC.

17. Решите неравенство 1 - 2/|x| ≤ 23/x².

18. Медианы АА₁ ВВ₁ и СС₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Точки А₂, В₂ и С₂ - середины отрезков МА, МВ и МС соответственно.

а) Докажите, что площадь шестиугольника А₁В₂С₁А₂В₁С₂ вдвое меньше площади треугольника АВС.

б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что АВ=5, ВС=8 и АС=10.

19. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая - 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

20. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение |x-a²+a+2|+|x-a²+3a-1|=2a-3 имеет корни, но ни один из них не принадлежит интервалу (4; 19).

21. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.

а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.

б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?

в) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?