Точные методы исследования устойчивости и автоколебаний в нелинейных системах. Частотный метод В.М. Попова

Пусть дана НСАУ. Нелинейность которой – однозначная нелинейность, расположенная в Гурвицовом угле

– будем считать устойчивой.

Все корни левые, либо содержится не более двух нулевых корней.

Теорема Попова

Для установления абсолютной устойчивости ИСАУ достаточно подобрать такое конечное действительное число k, при котором для всех соотношение выполнялось

При наличии одного нулевого корня дополнительно, а этому требуется еще, это

При двух нулевых корнях, чтобы действительная часть стремилась при малых ω.

K – угол Гурвица.

Графические интерпретация

Возьмем модифицированную АФХ линейной части

Если , т.е. порядок соотношение таково

Выражение (*) преобразуем, чтобы получилась

Возьмем – это прямая.

Угол наклона -

Для установления устойчивости НСАУ достаточно подобрать такую прямую Попова (ЗИ) на плоскости W*(jω), проходящую через точку , чтобы вся модифицированная АФХ линейной части системы лежала справа от этой прямой.

В случаях в) и г) нет абсолютной устойчивости, т.е. в Гурвицовом угле не для всех нелинейностей система устойчива.