Устойчивость нелинейных систем. Метод Л.С. Гольдфарба

Подадим на вход нелинейного звена (рис. 18.38, а) синусоидальные колебания

На выходе нелинейного звена получим согласно вынужденные колебания . Разложим в ряд Фурье и сохраним только основную синусоиду (первую гармонику), отбросив все высшие гармоники. Очевидно, что это приближенное представление вынужденных колебаний эквивалентно гармонической линеаризации нелинейностей. На основании этого для определения первой гармоники вынужденных колебаний величины y можно воспользоваться частотным аппаратом, который применялся ранее для линейных систем, следующим образом.

Приближенная передаточная функция нелинейного звена с уравнением будет:

- при наличии гистерезисной петли

- при отсутствии гистерезисной петли (однозначная нелинейность)

Приближенный комплексный коэффициент усиления, или приближенная АФХ нелинейного звена с уравнением будет:

(1)- при наличии гистерезисной петли

- при отсутствии гистерезисной петли

Эта приближенная АФХ определяет амплитуду и фазу первой гармоники на выходе нелинейного звена (если на его вход подается синусоида), а именно выражение (1) представить в виде:

, где

- фазовый сдвиг

а- амплитуда на входе нелинейного элемента;

В результате получим следующие вынужденные колебания на выходе нелинейного элемента (первая гармоника)

если =0, то существуют автоколебания

- обратная инверсия

Общая приближенная АФХ всей разомкнутой цепи с нелинейным звеном будет:

Незатухающие синусоидальные колебания с постоянной амплитудой в замкнутой системе определяются согласно частотному критерию устойчивости прохождением АФХ разомкнутой системы через точку (-1;j0), т.е. W=-1. Это и будет в данном случае условием существования периодического решения для замкнутой системы, которое принимается приближенно синусоидальным. Итак имеем условие

- условие автоколебания

Периодический режим устойчив, если инверсная обратная АФХ нелинейного элемента т.е. по росту амплитуды протыкает АФХ линейной части изнутри наружу.

Эти характеристики определяют амплитуду и физический смысл второй гармоники, если на вход подано гармоническое колебание

Если на вход нелинейного элемента подан сигнал , то на выходе нелинейного элемента 1-ая гармоника может быть описана следующим гармоническим уравнением

Тогда в соответствии с

у

Для однозначной н/л: