Связь между спектрами сигналов на входе и выходе простейшего импульсного элемента. Теорема Котельникова

Под ПИЭ понимается такое устройство (гипотетические, не существующие в реальности) выходной сигнал которого представляет собой модулированную последовательность δ-функций, «площади» которых равны дискретным течениям входной величины.

При x(0)=0 спектры сигналов на входе и выходе ПИЭ связаны известным соотношением , где

x*(jω) – спектр сигнала на выходе ПИЭ,

x(jω) - спектр сигнала на входе ПИЭ,

ω_и – частота квантования сигнала.

Составляющие этого спектра при m≠0 называются транспонированными составляющими. Сопоставим действительные (можно...) составляющие спектров на входе и выходе ПИЭ. Видно, что сигнал на выходе ПИЭ из-за транспонированных составляющих является периодическим с частотой квантования ω_и, кроме того, ясно, что из спектра выходного сигнала ПИЭ x*(jω), полученного суммированием основной и транспонированных составляющих спектра на входе ПИЭ x(jω), нельзя восстановить спектр входного сигнала, ибо транспонированные составляющие его исказили.

Причина этого понятна – ведь в квантованном выходном сигнале ПИЭ теряется информация о входном сигнале между моментами квантования.

Можно, однако, указать условия, при выполнении которых этой потери информации не происходит:

_1. пусть спектр входного сигнала x(t) финитен (конечен) S(jω)=0 при │ω│≥ω_гр;

2. пусть частота квантования сигнала ω_и≥2ω_гр.

Как видно из рисунка, транспонированные составляющие спектра Х*(jω) при ω_и≥2ω_гр не перекрываются с основной составляющей (т.е. m=0), в результате чего в диапазоне частот спектры x(jω) и x*(jω) совпадают (с точностью до пост. множества). Если поставить идеальный фильтр низких частей с постоянным коэффициентом усиления и равномерным пропусканием в полосе , то на его выходе будет получен восстановленный сигнал x(t).

Это все и есть содержание импульсной теоремы Котельникова.